W が R^n の k次元の部分線型空間で, k<n とする時, W の R 上基底 {x_1, ・・・, x_k}
が存在する. ここで, R^n の R 上基底 {y_1, ・・・, y_n} で, 1 ≦ i ≦ k に対して y_i = x_i となるものが存在する.

そこで, R^n から R への線型写像 f を, f(y_i) = 0 for i<n, f(y_n) = 1 で定義すれば, f は 0 ではなく,
H = Ker(f) は R^n の超平面で, W は H に含まれる.

なお, H の R 上基底として, {y_1, ・・・, y_{n-1}} が取れることもわかる.

あ、ちなみに体 K 上の線型空間 E の K 上の次元とは, EのK 上の基底 B の基数のことね.
(E の K 上の基底B の濃度は, B の取り方によらず, 一意に定まる. ここで, 選択公理は仮定する.)