>>9の訂正版
連立方程式
a^2-ab+c^2=0…[1]
b^2-bc+a^2=0…[2]
c^2-ca+b^2=0…[3]

加減法を使い連立方程式の解a,b,cを求める
[1],[2],[3]を足す
a^2-ab+c^2+b^2-bc+a^2+c^2-ca+b^2=0
2乗の形を作る
a^2+b^2+c^2+(2*(a^2)-2ab+2*(b^2)-2bc+2*(c^2)-2ca)/2=0
a^2+b^2+c^2+(a^2-2ab+b^2+b^2-2bc+c^2+c^2-2ca+a^2)/2=0
a^2+b^2+c^2+((a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2)/2=0…[4]
2乗した実数は0以上となり、また2乗した実数同士を足した[4]の等式も0以上となる
つまり、[4]を満たすa,b,cは0となる
よって、a=b=c=0

実数解(a,b,c)は(0,0,0)の1組である
この1組以外に実数解(a,b,c)が存在する場合について、
a=b=cかつa≠0,b≠0,c≠0と仮定
[1]より、a^2+c^2=ab
a,b,cをxとおく
x^2+x^2=x*x
2*(x^2)=x^2
x=0のとき以外、この等式は成り立たない
つまり、a=b=cのときa=0,b=0,c=0のみ成り立つ
また上記より、連立方程式の実数解a≠b,b≠c,c≠aは成り立たない
したがって、実数解(a,b,c)は(0,0,0)の1組以外に実数解(a,b,c)は存在しない