f(an)のなす列をbnとする
cn = an/bn は自然数列となる
bnの値が更新される番号を並べてnkとする、ie bn ≠ b_n-1 ⇔ ∃k ≧ 2 n = nk で n1 = 1 とする
n_k+1 - n_k が有界として上界 m をとる
cnk の値の増減を考える
cn_k+1 = ( cnk + (n_k+1-nk ) / ( bn_k+1/bnk)
である、つまり新しいc_n+1 は c_n に高々m加えられた後、bn_k+1/bnk で割って得られる
ここでbn_k+1/bnは相異なる自然数で有界ではあり得ない
よって十分大きなkでbn_k+1/bn >2mとなり
cn_k+1 < (cnk + m)/(2m) < cnk
となりcnkは自然数の単調減少列となり矛盾を生じる