定理　ℝ→ℝが有界可測でdense集合 D 上 0 であるなら恒等的に 0 である。
(∵) I =(a,b) 上に制限して任意の m∈ℕ に対して (Umn,rmn) を gm(x) = min { rmn ; x∈Umn } が f(x) ≧ gm(x), ∫f(x)dx ≦ ∫gm(x)dx + ε を満たすようにとれる。このとき lim gm(x) は (a,b) において f(x) に一次平均収束する。よって必要なら部分列をとって f(x) にほとんどいたるところで各点収束するとしてよい。よって‖gm - f ‖∞ < 1/m としてよい。rmn = g(x) である x が存在しないなら (Umn,rmn) を族の中から除いてもよいからすべての n で rmn = g(x) である x がとれるとしてよい。よってこのときすべての n で -1/m < rmn ≦ 0 が成立するから主張が成立する。□
定理 f:ℝ→ℝが可測である加法群の準同型写像なら一次関数である。