面白い数学の問題おしえて～な 43問目

(i) n+1が素数のとき

(n-1)! ≡ 1 ( mod n+1 ) (∵Wilson)

(ii) n+1が合成数のとき

n+1 = qm, qが素数べき, (q,m) = 1, pをqの素因子とすると m>1 or q>p
前者なら

n-1 = qm-2 ≧ q ∴ q|(n-1)!

後者なら

n-1 = q-2 > q/p > p ∴ q|(n-1)!