a(x) ＝ e^{-x}((x＋2)log^2(x＋2))^{-1} / C,

C ＝ ∫[0,∞] e^{-x}((x＋2)log^2(x＋2))^{-1} dx

として a：[0,∞) → (0,∞) を定義する。
g(y)＝∫[0,y] a(x) dx (y≧0) とすれば、
g(0)＝0, g(∞)＝1 であり、g は狭義単調増加である。
g の逆関数を f とすれば、f：(0,1) → (0,∞) であり、

∫[0,1]f(x)dx＜∞, ∫[0,1]e^{f(x)}dx＜∞, ∫[0,1]f(x)e^{f(x)}dx＝∞

となることが分かる。