桁の和が X 以下の 2 べきが無限に存在したとする。このとき方程式

10^(a₁) + 10^(a₂) + ... +10^(aₓ) = 2^n、a₁≧a₂≧...≧aₓ

の非負整数解が無限に存在しなければならない。
(a₁ₖ,a₂ₖ,...aₓₖ, nₖ)
が解の列とする。右辺は5と互いに素だから aₓₖ = 0 である。I を limₖ aᵢₖ = ∞ ( i<I ), (aᵢₖ)ₖ は有界 ( i≧I ) ととれるとしてよい。このとき
| 10^(a₁ₖ) + 10^(a₂ₖ) + ... +10^(aᵢ₋₁ₖ) - 2^nₖ | = | 10^(aᵢₖ)+...+10^(aₓₖ) |
である。右辺は有界だから十分おおきい M を 2^M が右辺+1の上界であるようにとれる。このとき右辺はすべての k で 2^M 未満であるが、左辺は有限個をのぞいてすべて正の 2^M の倍数だから 2^M 以上である。