>>66
n=cbrt(x),m=cbrt(37-x) とおくと問題は、n^3+m^3=37 という条件下で、n+mが整数になる時の考察になる。

n^3+m^3=37 の時、n+m は負にはならないし、6以上にもならない(※)

従って、n+m　が整数になる時、その値として可能性があるのは　1,2,3,4,5　だけ。
実際これを解き、整数解が得られるのは、k=1の時の、x=-27, 64　だけ。
これで、題意が示される。

(※)
負にならないのは、0 < 37 = n^3+m^3 = (n+m)(n^2-nm+n^2) = (1/4)(n+m){(2n-m)^2+3m^2} から明らか。
6以上にならないのは、(n+m)^3=37+3mn(n+m)≦37+(3/4)(n+m)^3=37+(3/4){37+3mn(n+m)}　；　∵　4xy≦(x+y)^2　
≦37{1+3/4+(3/4)^2+...}=37*4=148＜216=6^3　から示される。