>>31
単位球に内接する円錐の高さをhとすると、
底面積はピタゴラスの定理より、
π｛1-(h-1)^2｝=π(2h-h^2)
円錐の体積Vは、
V=(1/3)π(2h-h^2)h
円錐の表面積Sは、嶺線の長さをRとして、
(底面積)+(側面を含む円の面積)×(扇形の弧の長さ/円の外周の長さ)だから、
S=π(2h-h^2)+πR^2｛2π√(2h-h^2)/2πR｝
直角三角形の相似比から、
h：R=(R/2)：1
h=R^2/2
R=√(2h)
S=π(2h-h^2)+π√｛(2h-h^2)2h｝
V/S=π(2h-h^2)h/3π√(2h-h^2)｛√(2h-h^2)+√(2h)｝
=h√(2h-h^2) ｛√(2h)-√(2h-h^2)｝/3h^2
=√(2-h)｛√2-√(2-h)｝/3
=｛(√2)√(2-h)-2+h｝/3
(V/S)'=0とすると、
｛h-2+(√2)(2-h)^(1/2)｝'=0
1-1/｛2√(2-h)｝=0
2√(2-h)=1
2-h=1/4
h=2-1/4
=7/4
2h=7/2
2h-h^2=7/2-49/16
=(56-49)/16
=7/16
V=(π/3)(7/16)(7/4)
=49π/192
S=π(7/16)+π√｛(7/16)(7/2)｝
=(7/16)π+(7/4)π(√2/2)
=7π(1+2√2)/16
比率(V/S)の最大値は、
∴V/S=(49×16)/｛192×7(1+2√2)｝
=7(2√2-1)/(12・7)
=(2√2-1)/12
=0.15236892706……