・解説その1
加減法を使う
3式足すと
a^2-ab+c^2+b^2-bc+a^2+c^2-ca+b^2=0
2乗の形を作るために
a^2+b^2+c^2+(2*(a^2)-2ab+2*(b^2)-2bc+2*(c^2)-2ca)/2=0
a^2+b^2+c^2+(a^2-2ab+b^2+b^2-2bc+c^2+c^2-2ca+a^2)/2=0
a^2+b^2+c^2+((a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2)/2=0…[1]
2乗した実数は0以上となり、また2乗した実数同士を足した[1]の等式も0以上となる
つまり、[1]を満たすa,b,cは0となる
よって、a=b=c=0

・解説その2
a=b=c≠0と仮定する
a=b=c=x　(x≠0)とおく
連立方程式のa^2-ab+c^2=0を用いる
a^2+c^2=ab
a,b,cをxに置き換えると
x^2+x^2=x*x
2*(x^2)=x^2
x≠0のとき、この等式は成り立たない
よって、a=b=c≠0は成り立たない

上記より、
実数解(a,b,c)を1組求めよ
(a,b,c)=(0,0,0)
またその1組以外に実数解(a,b,c)は存在するか
実数解(0,0,0)以外の実数解(a,b,c)は存在しない