>測度の考え方は、いくつもある
>一方、数え上げ測度では、有理数の全体の測度は∞で、1点集合の測度は1
>「1点集合が非可測」とか、無茶苦茶

有理数全体からランダムに選ぶ、とあなたが考えるなら
有理数全体の確率測度が必要

全体を１とするなら、１点集合の測度は1/∞だが、
1/∞=０とすると可算加法性を否定するから
非可測とせざるを得ない

これ、非可測性の証明、一度でも見たことある人なら
誰でも知ってることなんだけどなあ