>>141　集合論初心者の方への御案内

選択公理が不要な例
https://mathlandscape.com/axiom-of-choice/#toc6

選択公理が不要な例2.

Λ を無限集合とする。
Z^Λ=∏(λ∈Λ)Z
これは例えば，選択関数として f(λ)=0(λ∈Λ) とすれば良いだけですから，直積集合は空でありません。
このように，具体的に選択関数を一つ取ってこれる場合は，選択公理は不要です。

選択公理が不要な例3.

Λ⊂R とする。このとき
∏(λ∈Λ)[λ,λ+1]≠∅
​
これも，選択公理は不要です。
実際，f(λ)=λ とすれば，f:Λ→⋃ (λ∈Λ)​ [λ,λ+1] は選択関数の1つですね。

このように，各集合に具体的な性質が備わっている場合は，
選択関数を実際にかける場合が多く，選択公理は不要です。