>君の解釈をここに書けよ！

「関数 g:R^N → R^N/〜 を g(s)=[s] で定義」
と書いてあるが、s列をすべて開けていない状況では
sがR^Nのどの元か確定していないのだから
g(s)の値の定義に問題が生じる。
そこで、残りを0で埋めることでs'を作り
その問題を解消したってことだと思う。
g(s)=g(s')で「なければならない」ことは
同値類の定義から分かる。