>>447 補足
アホの空集合議論にトドメを差す

１）いま、>>433の　Choice Games のgame2で
　区間 [0, 1] の有理数で 無限小数 0.x1x2...xn..., with all xn ∈ {0, 1, ..., 9}を考える
　箱入り無数目と同様 箱には{0, 1, ..., 9}の1桁の数を入れ、しっぽの同値類を考える
２）1例として、無限小数0.123123・・123・・ を取る
　つまり、循環節長さ3 繰返しパターン123
　既約分数に直すと、x=0.123123・・123・・
　1000x-x=123よりx=123/999=41/(3*37)となる既約分数になる
３）いま、有限小数の集合Uを考える。
　Uは、有理数Qから無限小数を除いた集合を成す
　Uは、環を成す（任意二つの有限小数の和と積は、またUに属する）
　区間[-1, 1]の有限小数の集合U'を考える
　U'は、明らかに可算無限集合
　ゆえに、U'は小数第n位の数を含むが、nには上限はない（可算無限集合だから）
４）さて、無限小数0.123123・・123・・の同値類の集合をSとする（区間[0, 1]内）
　二つの数列s=(s1,s2,・・sd-1,sd,sd+1,・・)、s'=(s'1,s'2,・・s'd-1,sd,sd+1,・・)
　で、ベクトルとみて、差を作ると(しっぽのsd,sd+1,・・が一致するので)
　s-s'=(s1-s'1,s2-s'2,・・sd-1 - s'd-1) （ここに、sd-1 ≠ s'd-1とする）
　つまり、s-s'は上記１）の視点で、第d-1位の有限小数となる
５）一方、無限小数x=0.123123・・123・・に
　ある第d-1位の有限小数u∈U'を加える（区間[0, 1]からはみ出すときは、別のuを選ぶ）
　x+u∈S つまり、0.123123・・123・・と同じしっぽの同値類の属する
６）よって、無限小数x=0.123123・・123・・とおなじしっぽ同値類Sの構造は
　x+u∈S、u∈U'（有限小数）であることが分かる
　つまり、x+uはx=0.123123・・123・・と同じしっぽを持つ
　繰り返すが、Sの任意の元は、無限小数0.123123・・123・・と同じしっぽで
　但し、123123・・123・・との違いは、uが小数第何位かで決まり、小数第d-1位なら、先頭から第d-1位までが異なる（一致は第d位から）
７）上記１）〜６）の通り、Sの任意の元すべて 0.123123・・123・・と同じしっぽを持ち
　その一致は第d位から
　つまり、有限小数では無限列を覆い尽くすことはできず、空集合は出現しないのです！（一致のdに上限はないが）
QED