選択公理によって存在するといわれている選出関数を１つ決めれば
それだけで同値類の代表は１つに決まる
もちろん選出関数を具体的に構成する必要はない
そもそもそんなことができるなら選択公理は必要ない

尻尾同値類の代表が１つに決まっているなら
どのような補有限部分集合（有限部分集合の補集合）をとってきても
同じ代表が得られる
そして、代表ともとの列の項は有限個の違いを除いて一致する

逆にそんなことは不可能だというなら
そもそも代表の選出は不可能だというしかない
つまり選択公理を否定するしかない
それが背理法　高校の数学Ⅰで習わなかったか？
ああ、高校中退したのか？ミロクは