純粋・応用数学・数学隣接分野（含むガロア理論）17

クレレ誌：
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AF%E3%83%AC%E3%83%AC%E8%AA%8C
クレレ誌はアカデミーの紀要ではない最初の主要な数学学術誌の一つである（Neuenschwander 1994, p. 1533）。ニールス・アーベル、ゲオルク・カントール、ゴットホルト・アイゼンシュタインらの研究を含む著名な論文を掲載してきた。
(引用終り)

そこで
現代の純粋・応用数学・数学隣接分野（含むガロア理論）スレとして
新スレを立てる（＾＾；

＜前スレ＞
純粋・応用数学・数学隣接分野（含むガロア理論）16
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/c/math/1692935804/
＜関連姉妹スレ＞
ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ5
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1687778456/
スレタイ 箱入り無数目を語る部屋14
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1696677610/
Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 69
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1688883767/
IUTを読むための用語集資料スレ2
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1606813903/
現代数学の系譜 カントル 超限集合論他 3
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595034113/

＜過去スレの関連（含むガロア理論）＞
・現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む84
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1582200067/
・現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む83
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1581243504/

つづく

>>302
>>「通常のGalois理論」を知らない人は、ここでずっこけるよ
>　君が量子Galois理論を理解できなかった理由は
>　通常のGalois理論を知らなかったからではない

・”量子Galois理論を理解”うんぬんは、アホ
・但し、河東泰之氏の良いたことは、”ずっこけ”に 理解できたよ

ご苦労さまでしたｗ

>>305 追加

（参考）
https://hiroyukikojima.はてなブログ.com/entry/20110404/1301921889
hiroyukikojima’s blog
2011-04-04
思想としてのガロア理論
自分も寄稿している雑誌『現代思想』青土社」の4月号、特集「ガロアの思考〜若き数学者の革命」が届いた。

数論幾何の若き俊英の吉田輝義さんの「ガロア理論の基本定理」もディープな記事だ。ガロア理論の奥底にある発想をことばで論じたあと、ガロア理論のポイントになる二つの重要な定理に、現代代数学的な証明を(簡潔に)与えている。(縦組みなのが、あまりに恨めしい)。
実際、この二つの定理こそまさに、ぼくが『天才ガロアの発想力』技術評論社の中で書けなかったものであり、前述のアマゾン生意気小僧(笑い)に絡まれる原因となったものの一部だ。
拙著は、とにかく、中学生にも読めるようにしたため、線形代数と対称群の性質をカットしたので、どうしても解説できないことが出てきてしまう。
吉田さんが与えた定理と、5次対称群が非可解であることには届かなかった。
ぼくの現在の力量では、ここのところを一般読者にわかりやすく簡潔に伝えることができそうになかったからカットしたのだ。
吉田さん自身も、これらの証明を「これは数学科の学生向けの教科書でもすっきりした説明があまりされていないように思われる」と書いているので、ああやっぱりそうなのか、と思った。
というわけで、この吉田さんの記事は、ガロア理論完全攻略を目指す人は必見だろう。

つづく

つづき

https://nankai.はてなブログ.com/entry/20110805
青空学園だより
2011-08-05
ガロア理論
　雑誌『現代思想』4月号が「ガロアの思考」を特集している．ガロア生誕200年を記念してのものである．そのなかで吉田輝義氏の「ガロア理論の基本定理」にいたく感動した．
　ガロア理論については思い出がある．エム・ポストニコフの『ガロアの理論』(1964年4月25日，東京図書出版発行)を高校3年生のときに買った．大学に入ったらこの本を読もうと，それを励みに受験勉強した．数学以外は文系人間だったので物理や化学は苦手だった．この本を本棚に飾って，それを読む日が来ることを励みに苦手な科目も勉強した．そして何とか合格した．群論は高校3年の時，S先生，O先生と，級友のI君と私の4人で数学同好会を名のって，『群論入門』(稲葉榮次著，倍風館)を輪読，8割方読んでいた．大学1年前期で線型代数もやった．体論はこの本自体が詳しい．複素数体なので線型代数があれば読める．準備は出来た．それで1回生の夏にようやくの思いで『ガロアの理論』を読んだのだ．
　ところが，これが読めてしまうのだ．何も難しいことはない．第1部「ガロア理論の基礎」も読めた．代数的生成拡大が代数的単純拡大であることの証明に感心した他はすらすら読める．第2部「根号による方程式の解法」も読めるのだ．あれだけ憧れていたガロア理論が読めてしまうのだ．基本定理も当たり前のように記述されている．P47〜P48にはガロア対応の意義が書かれてはいるが，それを深くつかむことが出来ていなかった．そして思った．一体ガロアの理論とは何なんだ．何がそれまでの数学からの飛躍であり，何が新しいのだ．それがわからなかった．ガロア理論は理解出来た．しかし納得は出来なかった．それで第2部の第3章あたりから，具体的な計算は十分にはできなかった．
　今回，吉田輝義氏の「ガロア理論の基本定理」を読んで，若いころの自分の思いを整理することが出来た．また論考の中の基本定理の証明にも，あのときこのようなことを自分でするべきだったという悔恨とともに，心を動かされた．内容は各自読んでもらいたい．
(引用終り)
以上

>>303-308　工学屋はガロアなんぞに興味もたずに有限要素法でも究めてなさい

>>298
>　だいたい「１の冪根なんて三角関数で計算すればいいだろう」
>　とかいう野蛮な工業高校の生徒レベルの発想の奴がガロア理論に興味持つなよ

言っている意味が分からない
適材適所という
「１の冪根なんて三角関数で計算すればいい」という場合も多い
大袈裟に、べき根を使った式展開するひまがあったら
sin、cos の三角関数で計算すればいいという場面多いだろう

>　円分方程式をガウスがどう解いたかすら興味もなく理解もできない野蛮なサルが

それは、水源の下からの眺めだよ
水道方式で、水源をガロワ理論にもってくれば、
”ガウスがどう解いたか”は、ガロワ理論で説明できる
実際、Cox ガロワ理論下 第9章と第10章で 円分拡大が扱われている
Cox ガロワ理論下 第9章 P336 歴史ノートに
ガウスのDAのVII節に対して
「主な相違点は、我々はガロワ対応を用いて物事を述べている」とある
ガロワ対応という、水道方式の水源の視点から、円分拡大が扱われているのです

追伸
余談だが、前スレで”ガロア接続”とか言った人がいたね
しかし、普通の代数方程式のガロア理論テキストでは、”ガロア対応”という用語を使うよ

>>311
>水道方式で、水源をガロワ理論にもってくれば、
>”ガウスがどう解いたか”は、ガロワ理論で説明できる

手元にある 草場公邦 「ガロワと方程式」を見ると
「6 ガロワの理論とその応用」の「6.4　巡回拡大体とべき根拡大体」で、
2〜3頁で扱われている
細かい点は省いている
まあ、それはそれで良い
細かい点を知りたければ、水源のガロワ理論を理解した後でやれば良い

(参考)
https://hiroyukikojima.はてなブログ.com/entry/20080327
hiroyukikojima’s blog
2008-03-27
ガロアの定理をわかりたいならば

ガロワと方程式 (すうがくぶっくす)
作者: 草場公邦
出版社/メーカー: 朝倉書店
発売日: 1989/07/01

『ガロワと方程式』はめちゃめちゃいい。ガロア理論とは栄光なき天才たち - hiroyukikojimaの日記で紹介した二十歳で決闘で死んだ薄命の天才ガロアの生み出した理論である。（ ちなみにフランス語では、ガロワと発音するのが正しいらしく、草場先生はわざとそういう表記を使っているが、日本では一般にガロアが流布している） 。
これは、「5次以上の方程式には解の公式が存在しない」ということを証明するために編み出された理論であり、現代代数の先駆けとなったスゴモノである。(ちなみに誤解を最小限にするために言っておくと、何次方程式でも必ず複素数の解を持っている。問題は、それをオートマチックに求める公式があるかどうかであり、5次以上にはそういう便利な公式がない、というのがガロアの定理なのである) 。
ぼくは、数学科のときは代数を専攻したので、ガロア理論は必須の道具であり、一生懸命勉強したのだけど、最終的に「身体でわかった！」というところにたどり着くことができなかった。おおざっぱには捉えることはできたんだけど、機微が掴めておらず、少なくとも「アタリマエ」になるほどには理解していなかったのである。（ そんなだから数学の道に挫折することになったのだけどね)。
ところが、最近になってこの『ガロワと方程式』を読んで、急に視界が開け、「アタリマエ」とまではいわないけど、「よくできた自然な理論だなあ」というところまで理解できるようになってしまったのだ。
数学科で勉強していた頃から見れば、もう四半世紀も過ぎて達した境地というのもスゴイやら情けないやらである。

>>311
>>　だいたい「１の冪根なんて三角関数で計算すればいいだろう」
>>　とかいう野蛮な工業高校の生徒レベルの発想の奴が
>適材適所という
>「１の冪根なんて三角関数で計算すればいい」
>という場合も多い

「計算できればOK」って発想の持ち主であることは否定しないんだ
ふーん

>>ガロア理論に興味持つなよ
>大袈裟に、べき根を使った式展開するひまがあったら
>sin、cos の三角関数で計算すればいいという場面多いだろう

冪根で計算できないことも否定しないんだ
ふーん

ま、工業高校生が三角関数でドヤるのは結構だけど
だったらガロア理論に興味持たなくても幸せでしょ

数学、綺麗さっぱりあきらめなよ

>>311
>水道方式で、水源をガロワ理論にもってくれば、
>”ガウスがどう解いたか”は、ガロワ理論で説明できる

ガウスのやったことを説明してるんだけどね
君、読んだ？理解した？
読んでも理解できないんじゃ
国語能力が欠如してるから
国語からやりなおしなよ

>実際、…で 円分拡大が扱われている
>…に、ガウスのDAのVII節に対して
>「主な相違点は、我々はガロワ対応を用いて物事を述べている」とある
>ガロワ対応という、水道方式の水源の視点から、円分拡大が扱われているのです

それは理論の話ね
計算は理論以前の話

計算はガウスのやった方法を述べている
別に他に魔法があるわけではない

ま、読みなよ　そして、理解しなよ
工学屋なんだろ　計算第一なんだろ？
三角関数でドヤるのは１８までだよ

で、どうしても無理ならここから失せな
いいことないよ　劣等感を増大させるだけだから

>>312
>細かい点は省いている　まあ、それはそれで良い
>細かい点を知りたければ、水源のガロワ理論を理解した後でやれば良い
　君、数学には興味ないもんね
　ただ「俺はガロア理論知ってるんだぜ」ってシッタカハナタカしたいだけ
　だから他人が説明すると「シッタカハナタカ」と嫉妬する
　要するに君は自分がやりたいことを相手に先にされたくないだけ
　実にわかりやすい

　この板の多くの人は、君みたいに他人に自慢するだけのために
　数学を学んでいるわけではない　数学に興味があるから学んでいる

　ガウスの円分多項式の研究はそれだけで十分に興味深い
　そしてそういうことを「細かい点」としかいわない君は
　まったく心から数学に何の興味もないとわかる

　だからいっている
　数学は君の人格と全く合わないから諦めなって
　君は政治家にでもなったほうがいい

>>291
>クロネッカー・ウェーバーの定理

(参考)
https://chuo-u.repo.nii.ac.jp/records/4113
https://chuo-u.repo.nii.ac.jp/record/4113/files/1345_2428~~42~4.pdf
Kronecker-Weberの定理を巡って 中央大学学術リポジトリ
石島昇竜 著 · 2012 — 第2節は，Kronecker-Weber の定理の証明で. 鍵となる，代数体の拡大における素イデアルの分岐について，必要な事項をまとめた．第3節で，本論文の. 主題である・・

>>316　そなたにこの歌を贈ろう
https://www.youtube.com/watch?v=nq2KjqIDyLU

>今日・・・は常識でないと物理の論文は読めない
　エテ公がわけもわからずリンクした文章を読むと
　・・・に入るのはガロア理論ではなく作用素環論

　ま、線形代数も理解できん奴は何読んでも理解できんから
　まず、論理から勉強すべし

>>316
追加

https://tsujimotter.はてなブログ.com/archive/category/%E3%82%AF%E3%83%AD%E3%83%8D%E3%83%83%E3%82%AB%E3%83%BC%E3%83%BB%E3%82%A6%E3%82%A7%E3%83%BC%E3%83%90%E3%83%BC
tsujimotterのノートブック
日曜数学者 tsujimotter の「趣味で数学」実践ノート

クロネッカー・ウェーバー
2017-11-12
クロネッカー・ウェーバーの定理と証明のあらすじ（その３）：クンマー・ペアリング

2017-10-29
クロネッカー・ウェーバーの定理と証明のあらすじ（その２）：クンマー拡大

2017-07-02
クロネッカー・ウェーバーの定理と証明のあらすじ（その１）

追加
日曜数学者 tsujimotter 氏
Iwasawa2017という国際研究集会 東京大学
”実はtsujimotterもこっそり参加しておりました”
か。これは、本格的ですね

https://tsujimotter.はてなブログ.com/entry/coates-wiles
tsujimotterのノートブック
日曜数学者 tsujimotter の「趣味で数学」実践ノート

2017-07-29
コーツ・ワイルズの定理（のあらすじ）

　7/19から7/28の計9日間，Iwasawa2017という国際研究集会が東京大学にて開催されました．岩澤理論における世界的スーパースターが一堂に会し活発な議論が行われました．

　実はtsujimotterもこっそり参加しておりました．感想やレポートはまたいずれ書きたいと思いますが，今日は別のお話をしたいと思います．

　今日は，Iwasawa2017の講演者の一人であるジョン・コーツ先生*1の結果の中で，私のお気に入りの定理「コーツ・ワイルズの定理」についてご紹介したいと思います．

　コーツ・ワイルズの定理は，コーツ先生とその教え子であるアンドリュー・ワイルズの共同研究として，1977年に発表された定理です．当時最先端だった岩澤理論を用いて，BSD予想という（今も未解決の）問題に対する最初の足掛かりを与える結果でした．定理の主張自体も十分にすごいのですが，証明の流れも魅力的なものだと感じました．その魅力をお伝えしたいと思ってこの記事を書いています．コーツ・ワイルズの定理とその証明の面白さについては，私の数学仲間であるせきゅーんさんに教えていただきました．せきゅーんさんには，この場を借りて御礼申し上げます．

　コーツ・ワイルズの定理の証明は，こちらの論文で見ることができます．

On the conjecture of Birch and Swinnerton-Dyer | SpringerLink
https://link.springer.com/article/10.1007%2FBF01402975

　定理の主張と証明のあらすじについては，落合先生によって書かれたPDFで知りました．
http://www.math.sci.osaka-u.ac.jp/~ochiai/wiles05.pdf

>>318
>線形代数も理解できん奴は

なるほどね
お主は、下記のID:ikAu9LZk氏だな
”高校まで「数学が得意」と言っていた連中が、
　大学１年の線形代数で落ちこぼれるのは
　定番コースです”
は、自分の体験かい？ｗｗｗ

それで、自分の姿を他人に投影しているんだ！
残念だったな
私は、中学2年で3ｘ3行列を裏技受験術でやっていたので
”大学１年の線形代数”なんぞ
何の苦労も無かったよ
落ちこぼれさんと一緒にされてもねぇ〜ｗｗｗ

(引用開始)
http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1688883767/883
Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 69
883 ：１３２人目の素数さん[]：2023/11/22(水) 06:24:15.68 ID:ikAu9LZk
>>872
＞高校数学レベルの人が、可換環論をまず勉強してから次にハーツホーンを読むとしたら、
　その前に線形代数を勉強して、抽象的な代数系にまず慣れてくださいね

　高校まで「数学が得意」と言っていた連中が、
　大学１年の線形代数で落ちこぼれるのは
　定番コースですから
(引用終り)

>>321
＞”大学１年の線形代数”なんぞ何の苦労も無かったよ
　そりゃ苦労無いだろう　大学落ちて入れなかったんだから

　３✕３をサラスでごまかしたおかげで
　行列式の一般定義すら理解できなかった君に
　大学数学は全部無理だから　大学行かなくてよかったよ

>>319 補足
>クロネッカー・ウェーバーの定理と証明のあらすじ（その１）

下記
「1 の（複素）n 乗根の全体は複素数の乗法に関して位数 n の巡回群を成す」
なので、ガロア理論によれば
任意のアーベル拡大に対して、十分大きなnをとって、位数 n の巡回群の中に
アーベル拡大によるアーベル群が実現できるかを調べるべし

これが、すぐ思いつく筋です
調べると、”有限生成アーベル群の基本定理”（下記）なるものがあって、これが使える
かつ、巡回群の基本定理の基本定理もあり、これも使える

実際、tsujimotter氏は、ほぼこの線で話を進めています

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%B7%A1%E5%9B%9E%E7%BE%A4
巡回群

性質
巡回群の基本定理は、「G が位数 n の巡回群ならば G の任意の部分群はそれ自身巡回群であること」、さらには「 G の任意の部分群の位数は n の約数であって、n の各正の約数 k に対して G が位数 k の部分群をちょうど一つ持つこと」[1]を主張するものである。この性質によって有限巡回群が特徴付けられる。すなわち「位数 n の群が巡回群となるための必要十分条件は、n の任意の約数 d に対して位数 d の部分群をちょうど一つ持つこと」[1]である。これは「位数 n の群が巡回群となるための必要十分条件は、n の任意の約数 d に対して位数 d の部分群を高々一つ持つこと」[1]としても同じであり、しばしばこの形で用いられる。

つづく

つづき

任意の位数 n の有限巡回群は n を法とする加法を備えた群 { [0], [1], [2], ..., [n − 1] } に同型であり、任意の無限巡回群は整数全体の成す集合 Z に加法を考えた加法群 (Z, +) に同型である。したがって、巡回群の性質について理解するには、これらの群だけを調べれば十分である。それゆえ巡回群は調べるのが容易な群の一つであり、巡回群の満たすさまざまな良い性質が知られている。

位数 n の巡回群（n は無限大でもよい）G と G の任意の元 g について、以下のようなことが言える。

G はアーベル群である[2]。つまり、任意の h ∈ G に対して gh = hg が成り立つ。これは g + h ≡ h + g (mod n) の成立から従う。
n が有限ならば gn = g0 は群 G の単位元である。これは任意の整数 k に対して kn ≡ 0 (mod n) となることに対応する。
n = ∞ ならば G はちょうど二つの生成元をもつ。それらは Z における 1 および −1 に対応する元である[3]。
n が有限ならば G を生成する元の総数はちょうど φ(n) に等しい。ここで φ はオイラーのトーシェント函数である[4]。
もっと一般に、d が n の約数ならば Z/nZ の位数 d の元の個数は φ(d) である。また、m の属する剰余類の位数は n/gcd(n,m) で与えられる。
p が素数ならば、位数 p の群は（同型の違いを除き）巡回群 Cp（あるいは加法的に書くならば Z/pZ）しかない[5]。
二つの巡回群 Z/nZ, Z/mZ の直積群がふたたび巡回群となるための必要十分条件は n と m が互いに素であることである[6]。従って例えば Z/12Z は Z/3Z と Z/4Z との直積に分解されるが Z/6Z と Z/2Z との直積とはならない。
巡回群の定義から直ちにわかることだが、巡回群は非常に簡素な生成元と基本関係による表示を持つ。すなわち

つづく

つづき

C_{∞}=< x| >
かつ有限な n に対しては
C_{n}=< x| x^{n}>
と書ける。

基本巡回群（英語版） とは任意の素数 p と任意の正の整数 k に対して Z/pkZ の形に表される群（素冪位数の群）のことである。有限生成アーベル群の基本定理は、任意の有限生成アーベル群 A が有限個の（有限）基本巡回群と有限個の無限巡回群との直積になることを主張するものである[7]。

基本巡回群（英語版） とは任意の素数 p と任意の正の整数 k に対して Z/pkZ の形に表される群（素冪位数の群）のことである。有限生成アーベル群の基本定理は、任意の有限生成アーベル群 A が有限個の（有限）基本巡回群と有限個の無限巡回群との直積になることを主張するものである[7]。
A=Z/p_0^k_0Z x Z/p_1^k_1Z x ・・・ x Z/p_m^k_mZ x Z^n.}
Z/nZ および Z は（可換群の構造のみならず）可換環の構造ももつ。p が素数ならば Z/pZ は有限体であり、Fp や GF(p) などとも記される[8]。p 個の元を持つ体は必ずこの Fp に同型となる[8]

例
二次元および三次元の n 回対称変換の成す対称変換群（英語版） Cn は抽象群として Z/nZ に同型である。他にも対称変換群で代数的には同じく巡回群になっているようなものが存在する
円周上の回転全体の成す群（円周群）S1 は非可算ゆえに巡回群ではないことに注意。

1 の（複素）n 乗根の全体は複素数の乗法に関して位数 n の巡回群を成す
たとえば、n = 3 のとき
0=z^{3}-1=(z-s^{0})(z-s^{1})(z-s^{2}) (s=e^{2πi/3})}
であり、{ s0, s1, s2 } は群となるが、これが巡回的なのは見ての通りである
(引用終り)
以上

>>325 訂正

基本巡回群（英語版） とは任意の素数 p と任意の正の整数 k に対して Z/pkZ の形に表される群（素冪位数の群）のことである。有限生成アーベル群の基本定理は、任意の有限生成アーベル群 A が有限個の（有限）基本巡回群と有限個の無限巡回群との直積になることを主張するものである[7]。

基本巡回群（英語版） とは任意の素数 p と任意の正の整数 k に対して Z/pkZ の形に表される群（素冪位数の群）のことである。有限生成アーベル群の基本定理は、任意の有限生成アーベル群 A が有限個の（有限）基本巡回群と有限個の無限巡回群との直積になることを主張するものである[7]。

ダブりがあるので、一つ消す

追記
なお、ここらの基本的な事項は
ガウスは、だいたい知っていた可能性がある
”知っているが書かない”というのが、ガウスの流儀らしい（当たり前のことをいちいち書いたら切りが無いと思っていたかもね ；ｐ））

>>322
>３✕３をサラスでごまかしたおかげで

・意味わからん
　記憶では、線形代数の具体例は３✕３行列が多かった気がする
・時代錯誤じゃね？
　いまどき、３✕３より大きな行列は、エクセルとか
　Pythonとかそっちじゃね？（下記）
・実際、実務では100とか1000とか百万とかの行列を
　扱うこともあるだろう

(参考)
https://www2.kaiyodai.ac.jp/~takenawa/app-analysis/Excel%E3%81%A7%E8%A1%8C%E5%88%97%E8%A8%88%E7%AE%97.pdf
Excel で行列計算
国立大学法人 東京海洋大学
竹縄 知之
本記事の内容はMatrix2021.xlsm http://www2.kaiyodai.ac.jp/~takenawa/app-analysis/Matrix2021.xlsm で実行できます．
1. ワークシートで行列計算 Excelには基本的な行列計算の関数が用意されており，ワークシート上で簡単に使うことができる．
以下のワークシートは行列 A= B= に対して演算を行ったものである．

https://note.nkmk.me/python-numpy-matrix/
note.nkmk.me
Python, NumPyで行列の演算（逆行列、行列式、固有値など）
Modified: 2019-10-31

Pythonで行列の演算を行うにはNumPyを使うと便利。

Python標準のリスト型でも2次元配列（リストのリスト）を実現できるが、NumPyを使うと行列の積や逆行列、行列式、固有値などを簡単に算出できる。

NumPyには汎用的な多次元配列のクラスnumpy.ndarrayと、行列（2次元配列）に特化したクラスnumpy.matrixがある。

行列の積や逆行列を頻繁に計算する場合はmatrixのほうが記述が楽かもしれないが、そうでなければ特にmatrixを使う必要はない。

なお、最大値や最小値を取得するmax()やmin()など、ndarrayで使える関数やメソッドのほとんどはmatrixでも利用できる。

サンプルコードとともに説明する。

なお、SciPyを使うと要素のほとんどが0である疎行列を効率的に扱うこともできる。以下の記事を参照。

関連記事: Python, SciPyで疎行列の計算・処理（逆行列、固有値、連結、保存など）

>>326
>なお、ここらの基本的な事項は
>ガウスは、だいたい知っていた可能性がある
>”知っているが書かない”というのが、ガウスの流儀らしい（当たり前のことをいちいち書いたら切りが無いと思っていたかも

・アーベルの言
「彼（ガウス）は尻尾で砂の上の自分の足跡を消し去るキツネのようなものである」（下記）
・ガウス流水道方式で、ガウスは本当はもっと高みから見ていたかもしれない
　DAの円分等周論を書くとき、レムニスケートで同じ理論を得ていたという（DAに、ほのめかしがある）
・つまり、彼はDAよりもっと高い地点に到達していたのだ
　しかし、それを見せないのが、ガウス流
・だから、現代の我々も、DAの表面づらだけ見ていては、本質を見誤るだろう
　我々も、いまのガロア理論の到達した地点からDAを見て、ようやくガウスの見ていた風景に近くなるのかもしれない

(参考)
https://en.wikipedia.org/wiki/Niels_Henrik_Abel
Niels Henrik Abel

Contributions to mathematics
Abel said famously of Carl Friedrich Gauss's writing style, "He is like the fox, who effaces his tracks in the sand with his tail." Gauss replied to him by saying, "No self-respecting architect leaves the scaffolding in place after completing his building."[15]

＜google訳＞
アーベルはカール・フリードリヒ・ガウスの文体について、「彼は尻尾で砂の上の自分の足跡を消し去るキツネのようなものである」と有名な言葉を述べた。ガウスは彼にこう答えた、「自尊心のある建築家は、建物を完成させた後、足場をそのまま放置することはありません。」[15]

>>323-326
>任意のアーベル拡大に対して、十分大きなnをとって、
>位数 n の巡回群の中にアーベル拡大によるアーベル群が
>実現できるかを調べるべし
>これが、すぐ思いつく筋です
>調べると、”有限生成アーベル群の基本定理”なるものがあって、これが使える
>かつ、巡回群の基本定理の基本定理もあり、これも使える
>実際、tsujimotter氏は、ほぼこの線で話を進めています

もしかして
「アーベル拡大のアーベル群を包含する
　巡回群を見つけさえすれば問題解決」
って思ってる？

>>328
>ガウス流水道方式で、ガウスは本当はもっと高みから見ていたかもしれない
>つまり、彼はDAよりもっと高い地点に到達していたのだ
　なんとかと煙は高いところに登りたがる
　１行目の文章の「かもしれない」は不要
　ガウスは当然、Qに１のｎ乗根を添加した体と巡回群の関係に気づいていた
　でないと、１の１７乗根の表示に平方根しか出てこない、なんていえない
　つまり、実質的にガロア理論にあたるものを使っていた

>現代の我々も、DAの表面づらだけ見ていては、本質を見誤るだろう
>我々も、いまのガロア理論の到達した地点からDAを見て、
>ようやくガウスの見ていた風景に近くなるのかもしれない
　素人の君に云われるまでもなく皆そうしている
　最後の行「のかもしれない」は不要
　君こそガロア理論の群論という「表面づら」だけ見てると本質が見えないよ
　どうせ交代群A5が単純群だとか交換子群[A5,A5]がA5自身とか
　そういう知識だけで「ワカッター！」と吠えてるだけだろ？
　君はいつでも上っ面で滑りまくってるだけだからな
　努力が嫌いな人は本質まで届く杭を打つ退屈かつ困難な作業を厭う
　だから決して本質を知ることなく・・・死ぬ

>>327
>>３✕３をサラスでごまかしたおかげで
>　意味わからん
　じゃ、4✕4の行列式書いてみ
>　記憶では、線形代数の具体例は３✕３行列が多かった気がする
　実に愚かな言い訳
　君の中では行列は３✕３でおしまいかｗ
>　時代錯誤じゃね？
>　いまどき、３✕３より大きな行列は、
>　エクセルとかPythonとかそっちじゃね？
　君、４✕４とか５✕５の行列の行列式求める問題で
　時間切れになって落第する口だな

　もちろん「公式」通りに計算してたら時間足りないに決まってる
　裏技を使うんだよ　君が馬鹿にする「消去法」という裏技をな
　大学で教わらなかった？ああ、君、大学行ってなかったなｗ

>　実際、実務では100とか1000とか百万とかの行列を扱うこともあるだろう
　でも君、計算プログラムをブラックボックスで使うだけだろ？
　それ中身分かってることにならんから

人も叩けばその音で金属か石ころか分かる

分かってる人は金属の澄んだ音が響く
分かってない奴は石ころのカチッとした音しかしない

いくら録音した金属の音を再生させても意味ない
叩かれた当人から出る音は誤魔化せない

高いところに登りたがる奴はニュース速報＋板で
「ABC予想証明さる！」とか書いてろｗｗｗ

それにしてもニュー速＋って正真正銘のクソスレしかないな
https://asahi.5ch.net/test/read.cgi/newsplus/1700526190/

>>329
>「アーベル拡大のアーベル群を包含する
>　巡回群を見つけさえすれば問題解決」
>って思ってる？

スレ主です
・ようやく、ガロア理論の水道方式が分かって来たかな？
　つまり、ガロア第一論文の視点からは、
　「アーベル拡大のアーベル群を包含する巡回群を見つけことはできるか？」
　が、第一歩です。これが出来ない例が、もしあれば それは反例になる
・「アーベル拡大のアーベル群を包含する巡回群を見つけことはできるか？」
　の手がかりは、１）巡回群の構造に関する基本定理、２）有限アーベル群の構造に関する基本定理
　この二つの要点を理解し押さえるべき要点
　そして、有限群論の視点で、上記は実現できることが分かるだろう
・では、次のステップは
　アーベル群→(有限次)アーベル拡大→(有限次)アーベル拡大を包含する円分体の存在（又は構成）
　となるのです。
・これは、ガロアの逆問題だね。
　https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AC%E3%83%AD%E3%82%A2%E3%81%AE%E9%80%86%E5%95%8F%E9%A1%8C
（ガロアの逆問題：未解決問題である。部分的な結果 特殊な場合については多くのことが詳細に知られている
　単純な例: 巡回群 略 任意の有限アーベル群は Q の円分拡大のガロア群の商として現れる
（クロネッカー・ウェーバーの定理はこれよりも深い結果）ので、この方法はそのような群にも適用できる。
　楕円モジュラー関数を使った構成 略）

こうやって、ガロア理論の水道方式では
ガロア第一論文の視点から
あたかも水が自然に高いところから低いところに流れるごとく
ガウスDAや、クロネッカー・ウェーバーの定理が見通せるのです
それは、ラグランジュ分解式の視点よりも、はるかに高いところにあるのです

>アーベル群を包含する巡回群

って何だよｗ
巡回群の部分群はすべて巡回群ですが。
ほんっと頭悪いね。かつ群論が分かってないね。

>>323
>「1 の（複素）n 乗根の全体は複素数の乗法に関して位数 n の巡回群を成す」ので、
>任意のアーベル拡大に対して、十分大きなnをとって、
>位数 n の巡回群の中にアーベル拡大によるアーベル群が実現できるか
>を調べるべし

>>329
>もしかして
>「アーベル拡大のアーベル群を包含する
>　巡回群を見つけさえすれば問題解決」
>って思ってる？

>>335
>ようやく、水道方式が分かって来たかな？
>つまり、第一論文の視点からは、
>「アーベル拡大のアーベル群を包含する巡回群を見つけことはできるか？」
>が、第一歩です。これが出来ない例が、もしあれば それは反例になる

じゃ、これ反例？
Z12_✕={1,5,7,11}

1*1=1　 1*5=5　 1*7=7　1*11=11
5*1=5　 5*5=1　 5*7=11 5*11=7
7*1=7　 7*5=11　 7*7=1　 7*11=5
11*1=11 11*5=55 11*7=5 11*11=1

群としてはZ2✕Z2だけど、これを包含する巡回群ってある？

任意のnについて
Qに１のn乗根を添加した体のガロア群Zn_✕が
巡回群になる、と思ってた？

誰もそんなこと一言もいってないけどな

なんか水道管詰まってない？

いやー、円分体のガロア群自身が
いかなる位数 n の巡回群の部分群にもならない
「反例」が出てくるとはｗｗｗｗｗｗｗ

そりゃ、アーベル群を適当な部分群で割って
その商群が巡回群になるようにはできますよ
それがアーベル群の基本定理ですよね？

でも、だからといって
「いかなるアーベル群も巡回群」だとか
「いかなるアーベル群も巡回群の部分群」だとか
一言も言ってませんけどね

だいたい、Qに１のｎ乗根を添加した体のガロア群はZn_✕であって
これはZnでもその部分群でもない（なぜなら演算が異なる）ので、
巡回群とは限らんのですがな

水源？高み？いやいや水が来てませんけどｗｗｗｗｗｗｗ

そういえば、学生時代にやらかすよくある勘違いの例が
可解群の定義を見て、こういっちゃうこと
「え？可解群ってアーベル群なの？」

ID:3gaFaFxH　のいう
「ガロア第一論文によるガロア理論の高み」
から見ると、以下がいえるようです
「可解群は巡回群の部分群である！」（ドヤぁ）

ネットの数学情報で「高み」に立って
他人を見下ろしていい気分になろうとする
ID:3gaFaFxHの目論見は完全に潰えました

Zn_✕とZnの区別もできてないどころか
Zn_✕がZnの部分群であると信じて疑うことすらしなかったんですね

部分群の定義、理解してますか？

「群 G の部分集合 H が G の部分群（英: subgroup）であるとは、
　H が『 G の演算に関して』群になることである」

いやー、正規部分群の定義について
いかなる部分群も正規部分群になってしまう
誤解をしていたとは聞いたんですけどね、今度は
群のいかなる部分集合も部分群になり得る誤解ですか

ほんと、次から次へとやらかしてくれちゃいますね
いや、はっきり申し上げて、あなた、Zn_✕が分かってないなと
前々から思ってましたけど、ほんとに根本的かつ初歩から誤解してましたね

正方行列＝正則行列　っていっちゃう粗雑さだから
こういうポカを必ずやらかしちゃうんですね
文章を読むとき、条件を割愛する癖あるでしょ？
それ直さないと、数学だけじゃなくどんなことでも誤解するよ

いままでそれで散々失敗してきたと思いますけどね
こんな誤り、数学だけでしでかしてきたと思えないんでね

いやぁ、死海レベルの「低み」を見ちゃいました

「軽率な自惚れ屋」を倒すのに策はいりませんね
調子に乗ると必ず失言するので、それを指摘すればいい
はっきりいって自滅、オウンゴールです　
今回も実に見事に決まりました

県知事はこの手の人物がよくなるようで、同様の自滅例が多々あります
選挙で選んだ人物がこのザマなので、人の見る目は当てになりません

もう読めもしない数学書は全部売り払ったほうがいいでしょう
Zn_✕がZnの「部分集合」で「群」だから「部分群」だ
と言っちゃうような人には数学なんて初歩から無理ですよ

余生は将棋でも囲碁でも好きにやってください
名人にはなれないでしょうが数学よりは簡単でしょうから
楽しむくらいはなんでもないでしょう

>>341
ありがとう
スレ主です

確かに、書き方が荒かったな
そういう赤ペンは歓迎ですよ

あなたのいうのは、
下記のクンマー拡大だね
ご苦労様です

（参考）
https://tsujimotter.はてなブログ.com/entry/kronecker-weber-2
tsujimotterのノートブック
2017-10-29
クロネッカー・ウェーバーの定理と証明のあらすじ（その２）：クンマー拡大

今日の主役は クンマー拡大 です。クンマー拡大とは，「巡回拡大」が「ベキ根の添加」によってかけるような拡大のことです。このような拡大のときは，いろいろと都合がよい性質があるのです。

略

次回は「クンマー・ペアリング」という道具を用いて，ガロア群 Gal(F/Q)
の作用を具体的に調べる方法を紹介します。

>>342 追加

下記 加塩 朋和 代数学２（ガロア理論）
(クロネッカー・ウェーバーの定理).は、ガロア理論の中で扱われる
（これで、クロネッカー・ウェーバーの定理が尽くされているかどうかは、私には分っていませんが）

https://www.rs.tus.ac.jp/a25594/
東京理科大学創域理工学部数理科学科 加塩 朋和
https://www.rs.tus.ac.jp/a25594/2022_Galois_Theory.pdf
ガロア理論の授業のレジュメ (2022年度)
代数学２（ガロア理論）
担当教員 : 加塩 朋和

P92
定理 15.6. K/k をガロア拡大とする.
(1) K/k の中間体で k 上有限次ガロア拡大となるもの全体
{L: K/L/k | L/k : 有限次ガロア拡大 }
に, L ≤ M ⇔ L ⊂ M で順序を入れ, 制限写像
L ⊂ M ⇒ Gal(M/k) → Gal(L/k), σ 7→ σ|L
を考える. このとき自然な同型
Gal(K/k) → lim←− L
Gal(L/k), σ → (σ|L)L
が定まる. この同型で同一視し, Gal(K/k) に位相を入れておく. ただし有限群
Gal(L/k) には離散位相が入る.

(2) 以下の一対一対応がある:
略

証明. (1) 逆写像が
(σL)L → [σ : K 3 α 7→ α の最小多項式の最小分解体 Lα をとり σ(α) := σLα
(α) ∈ Lα ⊂ K]
で定まる.
(2) 省略. TBA (追記予定)

例 15.8. Qab := Q({ζn | n ∈ N}) とおくとき
Gal(Qab/Q) = lim←−n∈N
Gal(Q(ζn)/Q)
例 12.3-(1) ∼= lim←−n∈N Z/nZ ×
となる.
※ Qab は “Q の最大アーベル拡大” となる (クロネッカー・ウェーバーの定理).

>>341
＞確かに、書き方が荒かったな
　いつも荒いですよ　ザラッザラ

　あと、スレ主って自称、みっともないからやめよう
　スレの深海魚とか自虐HNつけて謙虚に書けば
　マジボケでも愛されるよ　なんでそうしないの？
　匿名なんだから自虐でボケたほうが勝ちだって（結構マジ）

>>343　深海魚君　Z/nZ と Z/nZ ✕ の違い、分かってる？　ほんとに分かってる？

ところで君の新しい名前をつけようと思うんだが
ヨミノアシロとシンカイクサウオ　どっちがいい？

教訓　わからないことをわからないと気づくことがわかる道の第一歩

https://en.wikipedia.org/wiki/Multiplicative_group_of_integers_modulo_n
巡回群でない(Z/nZ)✕は実に沢山ある

>>343

1853年, 29歳のクロネッカーは クロネッカーーヴエ一バーの定理（彼はSatzと呼んでいる）を提示した
しかし、年代的には クロネッカーはガロア理論をご存じ無かったと思われる
もし、ガロア理論をご存じならば、クロネッカーはどういう研究をしただろうか？

(参考)
https://repository.kulib.kyoto-u.ac.jp/dspace/bitstream/2433/62359/1/1060-21.pdf
三宅, 克哉. 類体論の源流 (数論とその応用). 数理解析研究所講究録1998, 1060: 185-209
§ 1源流クロネッカー(1823-1891)
類体論の直接の源流はクロネッカーである.彼は特にアーベルとクムマーの影響下で2種類の問題を提示した:「アーベル多項式の特徴付け」と,いわゆる「単項化定理」である.

1853年, 29歳のクロネッカーは短い論文[Kr-1853]で次の主張を提示した.
クロネッカーーヴエ一バーの定理:有理整数係数のアーベル方程式の根は必ず1の罵乗根の有理整数係数の有理関数として表される.
ただし,この時点では,クロネッカーはガロア群が巡回群であるような代数方程式を「アーベル方程式」と呼んでおり,
後に[Kr-1877]ではこれを[単純アーベル方程式またガロア群が可換群であるものを「アーベル方程式」と呼ぶことにした.
この論文で説明されているように,どちらの定義を取ってもこの定理の含むところは変わらない.
彼はこの定理をSatzと呼んでいるが,証明は結局はヴエ一バーの論文「We-1887]を待つことになる.

また[Kr-1853]では, Z[√-1]に係数を持つ7一ベル方程式の根はレムニスケートの等分によって同様に扱うことが出来る,と述べ,さらなる–般化をも示唆している.しかし,この時点で果たしてクロネッカーがどれほど踏み込んだ考察を行っていたかは不明である.しかし1857年になると,短いが1段と楕円関数に踏み込んだ論文[虚数乗法が生じる楕円関数について」 ([Kr-1857a])を著している.これと,この年にディリシュレに宛てた手紙[Kr-1857b]からみて,いわゆる「クロネッカ一の青春の夢」がこの頃に描かれたものと思われる.

クロネッカー・ヴェーバーの定理
類体論
ガロアの逆問題の一種と捉えることができる（ 三宅 克哉氏）

https://www2.tsuda.ac.jp/suukeiken/math/suugakushi/sympo15/15_8miyake.pdf
ガロアの逆問題について
三宅 克哉(東京都立大学・理学研究科)

1. ガロアの逆問題の成立
例えば,有理数体に対して 「絶対ガロア群は如何なる (有限) 商群を持つか」という問題は
現今でも代数的数論における最も重要な問題の一つである.

ここで有理数体の絶対ガロア群とは有理数体の (複素数体における)代数的閉包の有理数体上のガロア群である.
このように大きなガロア群を表に出した表現は,特に類体論のイデールによる表現が成功を納めて以来のことであろうか.

類体論では,例えば,有限次代数的数体の最大アーベル拡大のガロア群が見事に記述できている.
このガロア群は有限次代数的数体の絶対ガロア群の最大アーベル商群, すなわち, その閉交換子群による剰余群である.
しかし当初はガロアの逆問題は素朴な形で提示されていた.

すなわち,ガロアの逆問題 : 与えられた有限群 G に対して,有理数体上のガロア拡大 KQであって、そのガロア群がGと同型なものが存在するか?
この問題の端緒は, 1892年のヒルベルトの既約性定理の論文 [Hi-1892] によって開かれた.

ヒルベルトはこの定理の応用として, 群Gが一般の対称群と交代群であるときは肯定的であることを示している.
ところが,こときは彼はまだ本格的には代数的数論には踏み込んでおらず, 1894年に初めて3本の代数的数論の論文を出版し、
さらに1896年に, いわゆる 「クロネッカー・ヴェーバーの定理: 有理数体上のアーベル拡大は,円分体,すなわち、1の羃乗根で与えられる」を証明した.

次いで 1897年にドイツ数学会から依頼された長大な 「報文」 が出版された.
さらに 1898年と1899年の2編の相対アーベル拡大についての論文によって彼の類体論の構想を提示し,
さらに,大論文である相対2次拡大論を出版した。
これによって一般の代数的数体において平方剰余の相互法則を示したのである.
19世紀冒頭からのガウスの問題提起に対するヒルベルトの答案であった。

「上っ面」といってるのは、基本法則を鵜呑みにして
文字だけ当てはめれば形式的に記述できる、という意味

これが出来ただけで「分かる」と言い切る人もいるが
数学科ではそういう薄いレベルでは「分かる」とはみなさない
基本法則がなぜ成り立つか理解することが必要

これ面白いね

https://note.com/daichi_konno/n/nb1f1ac368a30
「Paper Interpreter」を使って論文を読もう！
Daichi Konno / 紺野 大地
2023年11月23日

こんにちは、東京大学で医師かつ脳や人工知能の研究をしている紺野大地と申します。

2023年11月6日、OpenAI社から「自分専用のChatGPTを作れる機能」であるGPTs（ジーピーティーズ）が発表されました。

早速触ってみたところ、
「この技術を使えば、誰もが論文を読めるAIを作れる！」と確信し、論文解説AI「Paper Interpreter」を作って公開したところ、非常に大きな反響がありました！
（こちらのリンクから、今すぐ使えます。）https://chat.openai.com/g/g-hxDOCBQrs-paper-interpreter-japanese

論文の内容を分かりやすく解説してくれる「Paper Interpreter」を公開しました！

使い方は簡単で、論文のPDFをアップロードするだけです。
テキストだけでなく、図やグラフについても説明してくれる点がポイントです！

完全に予想外でしたが、「最もアクセス数の多いGPTsランキング」で、なんと世界6位になりました！！
使っていただいた皆さん、本当にありがとうございます。

Paper Interpreterの使い方
Paper Interpreterを改めて説明すると、
「論文をアップロードするだけで、内容を日本語で分かりやすく説明してくれるAI」です。

使い方は非常に簡単で、こちらのページに「論文のPDFをアップロードする」だけです（デモ動画は以下）。

注意点
大きな注意点として、Paper InterpreterはChatGPTの有料ユーザーしか使えません（2023年11月時点）。
これは、OpenAI社がGPTsの利用を有料ユーザーのみに制限しているためです。
ですがいずれ全ユーザーに解放するとのことなので、ぜひお楽しみに！

>>351-355

ありがとう
スレ主です

ガロア理論の水道方式が分かってきたようですね

１）抽象化された高等数学では、部分が分からないと全体が分からない、全体が分からないと部分の理解が進まない
　の循環になりがち
２）では、どうするか？
　水道方式では、まず全体の大まかなマップ（ランドスケープ）を作って、どこを水源地にすれば良いかを判断する
　水源地から、いろんな結果がイモヅル式に繋がる
３）そうして、全体の大まかなマップ（ランドスケープ）が手に入ったら
　改めて、全体を見回して、自分が理解出来ていない部分を補強すれば良い

「上っ面ですが」と言っているところが、大まかなマップ（ランドスケープ）に相当する
これなくして、「数学に王道なし」「一歩一歩論理の積み重ね」をやると
一部の天才*は別として、普通は「いつまで経っても全体像が見えない」「だから、その部分の理解も進まない」
の悪循環になりがちで、挫折する
（*天才は、一部を見ただけで、自分で全体像が見えるのです 例 ガウス、アーベル、ガロア）

「上っ面ですが」を進めて→改めて、全体を見回して、自分が理解出来ていない部分を補強する
このサイクルを、何度も回す

習うより慣れろで
このサイクルを、何度も回していると、だんだん理解が深まるのです

この手法の利点は、サイクルを回した回数だけ必ず何かが残るのです
「数学に王道なし」「一歩一歩論理の積み重ね」をやると、挫折すると殆ど何も残らないのです

>>357
>ガロア理論が分かってきたようですね
　いえ、これは上っ面ですから、ガロア理論の本に書いてある式を
　何も考えずに当てはめれば誰でも書けてしまいます

>抽象化された高等数学では、
>部分が分からないと全体が分からない、
>全体が分からないと部分の理解が進まない
>の循環になりがち
　352-354はあらすじというか構想に過ぎないので
　なぜこれがうまくいくか理解するには
　各ステップを確認する必要があります
　数学科では確実に必要となります
　研究を行うのに不可欠ですから

>水道方式では、まず全体の大まかなマップ（ランドスケープ）を作って、
>どこを水源地にすれば良いかを判断する
>水源地から、いろんな結果がイモヅル式に繋がる
　判断の必要はありませんよ　すでに結果としての水源が示されてますから
　ランドスケープは当然示されますが、それがなぜうまくいくかは
　決して鵜呑みで誤魔化すことではありませんね、ええ
　結果だけ頂けばいいというのは数学が嫌いな人の発想ですよ

＞そうして、全体の大まかなマップ（ランドスケープ）が手に入ったら
＞改めて、全体を見回して、自分が理解出来ていない部分を補強すれば良い
　そういうあなた、自分が理解出来ていない部分を見つけて補強しましたか？

>>355
>これが出来ただけで「分かる」と言い切る人もいるが
>数学科ではそういう薄いレベルでは「分かる」とはみなさない
>基本法則がなぜ成り立つか理解することが必要

いくつかのポイントがある
１）数学科院試でも、100点満点だけが合格するわけではない
　数学科修士でも、全てを完全に理解しているわけではない
２）何をもって、「分かる」「理解」というのか？
　試験場では、テキストや参考書を見ずに解答することが求められる
　しかし、それ以外の場所では、テキストや参考書を見て良いし
　だれかに、教えて貰っても良い
　そうして、自分なりに理解して、自分の抱えている問題が解決できれば良いのです

「数学に王道なし」「一歩一歩論理の積み重ね」をやると
多くの凡人は、抽象化された高等数学では、挫折して 何も残らない
そういう結果になりがちですよ

あなたは、それだった ふしがあるな

>>357
>「上っ面ですが」と言っているところが、
>大まかなマップ（ランドスケープ）に相当する

ええ
大まかなマップであるランドスケープはまさに「上っ面」です

>これなくして、
>「数学に王道なし」「一歩一歩論理の積み重ね」
>をやると一部の天才*は別として、普通は
>「いつまで経っても全体像が見えない」「だから、その部分の理解も進まない」
>の悪循環になりがちで、挫折する

すでに得られた結果を「急いで」学ぶには
そういう「泥縄」が早いでしょうね
実際大学の講義も教科書もそうなってる
そういう意味での「王道」があるのは
いわずもがなの常識ですね

ただ、実際は王道が王道であることに気づかない
学生が実に沢山いるので、そこは指導が必要です

また、ランドスケープだけ知って
ああ、全部分かったと誤解する迂闊な人も
これまた沢山いるので、そうではないことを
思い知らせるのも必要です

>「上っ面ですが」を進めて
>→改めて、全体を見回して、
>自分が理解出来ていない部分を補強する
>このサイクルを、何度も回す

あなたは回してますか？
例えば、なぜガロア群が巡回群だと冪根で解けるか説明できますか？
これはランドスケープの１ステップを実際に自分の足で歩けば分かりますが
目で見ただけで満足して、一度も自分の足で歩かないと絶対にできません

実際質問してみると、山道を一度でも歩いたか否かは確実にわかります
ゼミや口頭試問が有効な理由です

>>357
>*天才は、一部を見ただけで、自分で全体像が見えるのです
>例 ガウス、アーベル、ガロア

よくこういうことをいう人がいますが
実際研究をした人なら上記が嘘だとわかります

天才といえどもチラ見しただけで全体像が見えるわけではない
膨大な試行錯誤の結果として全体像が見えてくるのです

これは結果としての数学しか見たことがない人には
決してわからないことです

>>360
>数学科院試でも、100点満点だけが合格するわけではない
>数学科修士でも、全てを完全に理解しているわけではない
　その通りです
　試験は所詮試験です　点数にはさしたる意味がない
>何をもって、「分かる」「理解」というのか？
>試験場では、テキストや参考書を見ずに解答することが求められる
>しかし、それ以外の場所では、テキストや参考書を見て良いし
>だれかに、教えて貰っても良い
　試験をパスすればいい、という発想は捨てましょう　意味ないですから
　テキストに書いてあることをなぞればいい、というのは考えない人の発想です
　あるいはchatGPTのようなAIの発想
>そうして、自分なりに理解して、自分の抱えている問題が解決できれば良いのです
　「自分なりの理解」で満足したらそれで終わりですね
　実際今のchatGPTはそれで終わってます
　人間でもchatGPTみたいな分かり方しかしない人は沢山います
　そういう人は「問題」に気づいていないししたがって「解決」もできない
　ZpとZp✕の違いに無頓着な人は、✕の有無は文字一個分の些細なこと
　と思ってるのでしょうが、残念ながら両者は根本的に違います
　これは重大な問題ですが問題を認識しない人は解決すらできません

　はっきり申し上げますが
　ZpとZp✕の違いは初歩のレベルです
　院試以前に学部の試験で落とされます
　つまり単位が取れません

正１７角形が作図可能かどうか、は実は大した問題ではありません
ガウスは単に自分の結果の提示の方法としてこれを取り上げたに過ぎません
肝心なのは、Z^n-1の解のベキ根表示とZn_✕の繋がりです
そういう意味で、ガウスの発見は、ガロア理論の先駆けです

５次以上の一般の代数方程式が冪根で解けるか否か、
という「些末な動機」でガロア理論を学ぶのは不毛である、
というのが私の感想です
解を求めるだけなら、冪根にこだわる必要はない

逆に、任意のｎ次の円分方程式が冪根で解ける、というのは
けっしてつまらない結果ではなく、実に興味深い
単に三角関数使えば解が求まるからいいだろう、とかいうことではない

両者は決して矛盾しません

>>359
>　各ステップを確認する必要があります
>　数学科では確実に必要となります
>　研究を行うのに不可欠ですから

１）あなたは、数学科落ちこぼれさん
２）よって、数学研究とは無縁でしょ？ｗ
３）人が数学を学ぶのは、プロ数学者として数学研究するだけではないはず
　物理学者が数学を学ぶのは、それを物理学役立てるためだ

おっさん、「（数学）研究を行うのに不可欠」と言いながら
挫折して、何にも残っていないじゃん？ｗｗｗ

>>366
>物理学者が数学を学ぶのは、
>それを物理学に役立てるためだ
　あなた、物理学者じゃないでしょ
　物理は数学以上に分かってないんじゃない
　ここで物理の話聞いたことないけど

aの巾根を a^{1/n} として求められるとするのなら、

1のｎ乗根も巾根使って 1^{1/n} とすれば一発じゃん。
くだぐだとｆ項周期とか作ったりしなくてもいいだろ？

>>368
x^n-a=0のn個の根は、その1つをn√aで表し、
他のn-1個をそれと1の原始n乗根ζのｍ乗(ｍ=1〜m-1)で表す

x^n-1=0のn個の根は、1と1の原始n乗根ζのｍ乗(ｍ=1〜m-1)だが
これでは堂々巡りとなるのはおわかりか？

堂々巡りを打ち破るには1の原始n乗根ζをより根源的な数の冪根で表す必要がある

>>368-369
>aの巾根を a^{1/n} として求められるとするのなら、
>1のｎ乗根も巾根使って 1^{1/n} とすれば一発じゃん。
>くだぐだとｆ項周期とか作ったりしなくてもいいだろ？
>
>これでは堂々巡りとなるのはおわかりか？
>堂々巡りを打ち破るには1の原始n乗根ζをより根源的な数の冪根で表す必要がある

スレ主です
問いと回答が、噛み合っていないと思うのは、私だけかな？

１）いま、簡単にa>0（a 正）とする
　実数の範囲では
　関数 f(a)=a^{1/n} 　f：a→a^{1/n}
　このグラフを数式処理で書かせるのは、簡単なことだ
　ところが、a＝1のときは、f(a)=a^{1/n}＝1でしかない
２）では、関数 f(a)を複素数の範囲に広げると？
　 f(a)は、多価関数になる
　従って、一価関数に落とすことを考える必要があるのです（多価のままでは、不都合）
３）そこで、「1の冪根」や「円分多項式」の理論が出てくる
　あと、下記「円分多項式」にも書いてあるが、 1^{1/n} を解とする方程式 x^n＝1 から得られる x^n -1＝0 で、多項式 x^n -1 は既約ではない（可約）
　なので、1のｎ乗根は、必ずn-1乗根以下で間に合うのです
（なお、円分多項式は、大学入試ネタでもある。相反多項式になることも、常識として知っておくべし）

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/1%E3%81%AE%E5%86%AA%E6%A0%B9
1の冪根（root of unity）とは、数学において冪乗して 1 になる（冪単である）数のことである。すなわち、ある自然数 n が存在して
z^n = 1
となる z のことである。通常は複素数の範囲で考えるが、場合によっては p進数のような他の数の体系内で考える場合もある。以下では主として複素数の場合について述べる。
ド・モアブルの定理より、略
https://en.wikipedia.org/wiki/Root_of_unity

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%86%86%E5%88%86%E5%A4%9A%E9%A0%85%E5%BC%8F
円分多項式

https://manabitimes.jp/math/1345
高校数学の美しい物語 円分多項式とその性質 2021/03/07

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%9B%B8%E5%8F%8D%E5%A4%9A%E9%A0%85%E5%BC%8F
相反多項式
例
他の例としては円分多項式やオイラー多項式を挙げることができる。

>>367
>>>366
>>物理学者が数学を学ぶのは、
>>それを物理学に役立てるためだ
>　あなた、物理学者じゃないでしょ
>　物理は数学以上に分かってないんじゃない
>　ここで物理の話聞いたことないけど

議論が噛み合ってないなｗ

１）”>　各ステップを確認する必要があります
　>　数学科では確実に必要となります
　>　研究を行うのに不可欠ですから”>>366
　だった
２）それなら、（数学）研究を行うためでないのなら
　各ステップを確認する必要は、必ずしもないよね
（数学科でない人も、いまどき多数の人が数学を学ぶよ）
３）その一例として、物理学者を挙げた
　物理学者が、自分の研究 例えば 素粒子論にある数学を適用することを考えたとする
　まず、チェックすべきは その使おうとする数学が素粒子論に使えるかどうか？だ
　使えないなら、各ステップを確認する必要は、必ずしもない
　かつ、使えるとしても、各ステップを確認する必要は、必ずしもない（∵数学研究でもなく、数学科でもないからｗ）

>>371
・落ちこぼれさんで、数学研究と無縁
・よって、数学研究成果なく
・一本の査読投稿掲載論文の無い人が
・いっちょ前の顔をして、数学研究を語る

滑稽だよ

>>370
これはこれは、スレの深淵に住むというシンカイクサウオ様
お加減はよろしいのでしょうか？

>いま、簡単にa>0（a 正）とする
>実数の範囲では
>関数 f(a)=a^{1/n} 　f：a→a^{1/n}
>このグラフを数式処理で書かせるのは、簡単なことだ
　グラフなら数式処理ソフトなんか使わなくても、Excelでも書けますよ

>ところが、a＝1のときは、f(a)=a^{1/n}＝1でしかない
　その通りですね　したがって>>368の主張では、
　他のｎ−１個の根は全く記述ができません
　ガチっと噛み合ってますね　
　シンカイクサウオ様もここは認めるでしょう
　ご自分がいっていることですから

>では、関数 f(a)を複素数の範囲に広げると？ f(a)は、多価関数になる
>従って、一価関数に落とすことを考える必要があるのです（多価のままでは、不都合）
　ここ、問いと回答が、噛み合っていないと思うのは、私だけでしょうか？
　そもそも一価か多価かが問題なのではありませんね

>そこで、「1の冪根」や「円分多項式」の理論が出てくる
　「そこで」ではないでしょう
　そもそも１の冪根も円分多項式も最初から存在します

>あと、 1^{1/n} を解とする方程式 x^n＝1 から得られる x^n -1＝0 で、多項式 x^n -1 は既約ではない（可約）
　その通りです

>なので、1のｎ乗根は、必ずn-1乗根以下で間に合うのです
　だから、私の369の指摘がガチっと噛み合いますね

　おかしいのは、一価と多価のところだけ
　そんなおかしなこというのはシンカイクサウオ様が初めて

　したがって、370冒頭の
　「問いと回答が、噛み合っていないと思うのは、私だけかな？」
　の答えは以下の通り

　「ええ、あなただけですよ」

>>371
シンカイクサウオ様が数学者でないことはよく分かっておりますが
物理学者でもない、ということでよろしかったでしょうか？

>>372
私の知り合いに
「10年間”ガロア理論”と名のつくスレッドを立てていた人が
　ZnとZn✕を混同していたんだよね」
という話をいたしましたら、こういわれました

「縁なき衆生は度し難し」

そもそも「１の冪根を三角関数で表せばいい」という人には
円分体の理論もガロア理論も「馬の耳に念仏」でしょうな

ガウスの円分体の理論は、ヲタク的純粋数学の極致という点で素晴らしい

そういうものに興味を持たないのは
良く言えば一般人
悪く言えば俗人

「深淵の人」は根本的に俗人かと思います
つまり、使えることにしか価値を見出さない

円分体の理論が他に使えることがないかどうかは知りませんが
そもそも他に使うために考えられたものではない
そこが「純粋数学」として素晴らしい

ヲタクがハマる趣味は別に役にたつようなことではなく
単に自分が面白いからやっている
そこが「ヲタク」としてすばらしい

ヲタク心がない人は世間的には健全かもしれませんが
・・・つまりませんな

>>372
余談だが、共同研究がある
下記は、藤野 修先生の話で、橋詰健太氏との共同研究があがっている
また、BCHMと呼ばれる大論文があるそうだ
BCHMの頭文字の４人の論文

４人が隅々まで、事細かく理解しているよりも
４人それぞれが、得意の専門分野をもち
４人の知恵を寄せ合って、BCHMが成り立っている
そう理解すべきじゃないですか？

三人寄れば文殊の知恵というが、４人の知恵を寄せ合ったんだね
４人がチマチマと重箱の隅を突いたのではなく、得意の専門分野とアイデアを寄せ合った結果だろう
そう考えるべきでは？

数学研究成果なく
一本の査読投稿掲載論文の無い人が
いっちょ前の顔をして、数学研究を語る

「各ステップを確認する必要があります」という
最終的には、その通りだが
それは初期段階では ないだろう

(参考)
https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-21H00974/
高次元代数多様体の双有理幾何学
研究代表者 藤野 修 京都大学

この2006年から2008年ぐらいにかけて実行した小平消滅定理の一般化と双有理幾何学への応用に対して日本数学会の代数学賞をいただくことが出来た。
大変光栄なことだと思う。

2021年度の前半は橋詰健太氏との共同研究で対数的標準中心についてのadjunctionとinversion of adjunctionを完全に解決することができた。

2021年度の後半は極小モデル理論の複素解析化を実行した。
代数多様体に対する極小モデル理論ではBCHMと呼ばれる大論文が存在するが、BCHMの結果をほぼ全て複素解析化することに成功した。すでにプレプリントは公表済みである。
2022年度の前半は極小モデル理論の複素解析化をさらにおし進める予定である。

数学者は物理には興味がありません
物理現象に興味がないのはもちろん
世の中の役に立つという考え方にも興味がない
数学を学んできた人間が企業に就職したがらないのは
企業の仕事に面白みを感じないからでしょう

>>379
シンカイクサウオ氏はご自分の話をしたがりませんな
今までの人生で面白いことを一つも為し得なかった人のようだ

ネットでサーチするだけの人生・・・つまりませんなあ

Zn✕　に何の興味も持ち得ない人が
いったい何を面白がるのか
想像もつきませんが

下らぬことで他人にマウントし他人を論破する
そんな、ひろゆきやホリエモンのような人生は
つまりませんなあ

私は別にシンカイクサウオ氏にマウントしてるわけではない
何が数学として本当に面白いのか、お示ししているつもりです
「最前線」とか「頂点」とか「高み」とかいって
つまらぬことに狂いまくっている哀れな人に
そこらに咲いているタンポポの面白さを伝えてるわけです

試験の点数しか見えない人は
学問の意味がわからない

>>379 参考
>BCHMの頭文字の４人の論文

下記ですね
因みに、Birkar氏は、フィールズ賞で、フェセンコ氏のところのDR生だったそうな

(参考)
https://www.math.kyoto-u.ac.jp/~fujino/hokoku.html
https://www.math.kyoto-u.ac.jp/~fujino/kb-HP.pdf
第52回代数学シンポジウム報告集 p141--153 (2007)
Recentdevelopments inthelog minimalmodelprogramII
対数的極小モデル理論の最近の発展についてII
名古屋大学大学院多元数理科学研究科藤野修∗
概要Birkar-Cascini-Hacon-McKernanの大結果について述べる。
数学的に厳密な話ではなく、個人的な感想、極小モデル理論の勉強方法などを中心に述べたい。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B3%E3%83%BC%E3%83%81%E3%82%A7%E3%83%AB%E3%83%BB%E3%83%93%E3%83%AB%E3%82%AB%E3%83%BC
コーチェル・ビルカー FRS (Caucher Birkar, 1978年 - )
博士課程 イヴァン・フェセンコ
指導教員 ヴャチェスラフ・ショクロフ[3]

研究と経歴
パオロ・カッシーニ（イタリア語版）、クリストファー・ハコン、ジェームズ・マッカーナンと共に、ビルカーは対数一般型の多様体に対する対数フリップの存在、対数正則環の有限生成、極小モデルの存在を含む幾つもの予想を解決し、ヴャチェスラフ・ショクロフと、ハコン-マッカーナンの初期の仕事上に業績を構築していった[16]。

対数正則特異点の解決において、ビルカーは極小モデルとアバンダンス予想（英語版）の鍵となる場合とともに対数フリップの存在性を証明した[17]。(これはハコンとチェンヤン・シュー（英語版）により独立に証明された。)

異なる方向で、ビルカーは非負の小平次元の多様体上の多正則系により誘導される飯高ファイブレーションの有効性に対する飯高の昔からの問題を研究した。この問題は二つからなる。一つはフィブレーションの一般ファイバーに関連し、一つはフィブレーションの基底に関連する。

ああつまらん

わかりもせん話をコピペするとかつまらん

それで他人にドヤる●違いぶりもつまらん

素朴な疑問。

0426はIUT応援スレ1通称set Aのレスで数学.物理.科学と無縁なトンデモの方です。
1と数学談義するプロの数学者はいるのですか？
存在したら業界怪談数学編では

0426 １３２人目の素数さん
2023/10/29(日) 14:22:15.63

IUTは、ガリレオ天動説です
だんだん、理解され受け入れられてきたよ

たとえば　id:x8I8o+n6 は1

>>391-392
確かにシンカイクサウオ氏と数学談義はできませんなあ
シンカイクサウオ氏は数学の初歩からわかってませんし
わかる気すらありませんから
Zn✕をZnと誤解しつづけてきたことからも明らかです

>>380
>数学者は物理には興味がありません
>物理現象に興味がないのはもちろん
>世の中の役に立つという考え方にも興味がない

落ちこぼれが、したり顔で数学と物理を語る？
笑止千万、滑稽極まりない？

そもそも、根拠なく現実と真逆の説を唱えるとはｗ
信用を失う発言ですね

貴方の言うことは
今後、信用されないよｗ

１）ちょっと古いが
https://planck.exblog.jp/14987060/
大栗博司のブログ 2010年 08月 21日
フィールズ賞
１９９０年以来の過去５回のICMでは、フィールズ賞受賞者のおよそ４割が場の量子論や超弦理論に関係する分野で研究をされていたので、今回はどうなるのだろうかと思っていました。
今回の受賞者のひとりはスタニスラフ・スミルノフさんで、ある種の２次元の統計模型がスケール極限で共形対称性を持つことを示し、物理学者のジョン・カーディさんの予想していた公式に数学的証明を与えました。
もうひとりの受賞者のセドリック・ビラニさんへの授賞対象は気体分子の運動論で、非平衡の状態からどのように平衡状態への移行が起きるのかの理解を進められたのだそうです。
物理学の提起する問題は、依然として数学の新しい発展を触発し続けているようです

２）近年の例
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%95%E3%82%A3%E3%83%BC%E3%83%AB%E3%82%BA%E8%B3%9E
フィールズ賞
2022年
ユーゴー・デュミニル＝コパン（Hugo Duminil-Copin, 1985年 - ）フランス
「 For solving longstanding problems in the probabilistic theory of phase transitions in statistical physics, especially in dimensions three and four.
2014年
マリアム・ミルザハニ（Maryam Mirzakhani, 1977年 - 2017年 ）イラン （女性初）
「 for her outstanding contributions to the dynamics and geometry of Riemann surfaces and their moduli spaces.
アルトゥル・アビラ（Artur Avila, 1979年 - ）ブラジル フランス
「 for his profound contributions to dynamical systems theory have changed the face of the field, using the powerful idea of renormalization as a unifying principle.

３）大数学者で物理に関係する仕事もした人
　佐藤幹夫、ヘルマン・ワイル、ヒルベルト（一般相対性理論）、ガウス、フーリエ（熱伝導の研究からフーリエ級数フーリエ変換へ）、ニュートン（天体物理から微分積分学へ）

シンカイクサウオ氏は数学で他人にマウントしたいだけですな
数学に対する嫉妬と羨望に満ち溢れちゃってます
そのくせ数学の真に面白い点には全く興味がない
数学を誤解し、数学でないものに憧れてるんでしょう
哀れなもんです

>>394
数学的現象に対する興味を物理現象に対する興味と取り違えてますな
数学的興味という動機を実用性の追求という動機と取り違えてますな

ま、前者は完全に詭弁ですが（笑）、後者はそうではないですね
そういう意味でいうと物理学者も実は実用性とかどうでもよくて
面白いから研究してるんでしょうけどね（笑）

ガウスはもちろん物理に関わる数学の研究もしているが
やはりガウスの真骨頂は円分体の理論だろう
これほどヲタク的なものはない
ガウス本人もこんなのカネもらってやる仕事じゃないと思ってるだろう
本当に面白い成果は仕事じゃできないんだよ　遊びだよ遊びｗ

大学で良い研究ができにくいのは、
国家とかいう暴力団から金もらってる
疚しさがあるからだろう

シンカイクサウオ氏と遊ぶのも飽きてきた
Zn✕とZnを取り違える大ボケを越える笑いはとれないだろう
ここらでズラかるのが潮時だ

あばよ

数学＆物理の追加例

山下真由子
共著 Y. Tachikawa＝立川 裕二 理論物理学者
Proceedings QFT 量子場の理論です

https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~mayuko/
山下真由子

https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~mayuko/papers.html
論文

2.Remarks on mod-2 elliptic genus, with Y. Tachikawa and K. Yonekura. preprint. https://arxiv.org/abs/2302.07548

Proceedings
1.Invertible QFTs and differential Anderson duals (proceedings to Stringmath 2022). https://arxiv.org/abs/2304.08833

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%AB%8B%E5%B7%9D%E8%A3%95%E4%BA%8C
立川 裕二（たちかわ ゆうじ、1979年10月5日 - ）は、日本の理論物理学者。東京大学国際高等研究所カブリ数物連携宇宙研究機構教授。専門分野は素粒子物理学、特に超弦理論における場の理論や数理物理など[1]。大阪府富田林市出身。

経歴
1998年、灘高等学校卒業。灘中学校・高等学校在学中には、国際数学オリンピックの日本代表に2回選出された。1995年（日本予選：中学3年[2][3]、国際大会：高校1年）の第36回カナダ大会、1996年（日本予選：高校1年[2][3]、国際大会：高校2年）の第37回インド大会に連続出場し、共に銀メダルを獲得した[4]。

研究　
超弦理論に関する重力理論、数理物理、及び超対称性のある4次元場の理論。AGT対応の発見者。

>>397
>ガウスはもちろん物理に関わる数学の研究もしているが
>やはりガウスの真骨頂は円分体の理論だろう

・ガウスDAは、1797年（19〜20歳）にはほぼ原稿は完成していた
・高校在学中にはニュートンの著書「プリンシピア」（ニュートン力学体系の解説書）と出会って深く感動し、ニュートンへの尊敬の念をいだきそれを一生胸の奥にあたため続けました
・ゲッチンゲン大学天文台長へ。その後およそ５０年の研究 生活をその地で過ごす

ということは、ガウスDAは20歳前の仕事であって
一方
ニュートンの著書「プリンシピア」（ニュートン力学体系の解説書）と出会って深く感動しニュートンへの尊敬の念をいだき、天文台長５０年

どう見ても、物理にも本気で取り組んでいますよね
つーか、当時は物理と数学の垣根は、それほど高くなくて、普通に物理と数学の両方を研究しています

落ちこぼれさんが、知ったかぶり
滑稽です

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/Disquisitiones_Arithmeticae
Disquisitiones Arithmeticae
ラテン語で算術研究の意、以下 D. A. と略す
1801年、ガウス24歳のときに公刊された。その研究の端緒はガウス17歳の1795年にまでさかのぼり、1797年にはほぼ原稿は完成していた[1]。

https://www.px.tsukuba.ac.jp/~iarai/Courses-j.html
新井一郎の授業 筑波大 物理
https://www.px.tsukuba.ac.jp/~iarai/Doc/UG/Physics_BI/Personae.html
物理学を作った人々
https://www.px.tsukuba.ac.jp/~iarai/Doc/UG/Physics_BI/Gauss.html
[13]ガウス -偉大な天才数学者-
ドイツの数学者。１７７７年４月３０日、プロシャ北部ハノーバー近郊 ブラウンシュバイク生。数論の研究で輝かしい業績。純粋数学に留まら ず、現代天文学、測地学、電磁気学などの数学の実際的な応用において も活躍し、数学と隣接科学に大きな貢献。
高校在学中にはニュートンの著書「プリンシピア」と出会って深く感動し、ニュートンへの尊敬の念をいだきそれを一生胸の奥にあたため続けました。
ガウスの才能の流出を惜しんだフンボルトの 尽力により、ゲッチンゲン大学天文台長へ。その後およそ５０年の研究 生活をその地で過ごし、１８５５年２月２３日没。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%87%AA%E7%84%B6%E5%93%B2%E5%AD%A6%E3%81%AE%E6%95%B0%E5%AD%A6%E7%9A%84%E8%AB%B8%E5%8E%9F%E7%90%86
『自然哲学の数学的諸原理』（しぜんてつがくのすうがくてきしょげんり、羅: Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica）は、アイザック・ニュートンの著書で、ニュートン力学体系の解説書である。1687年7月5日刊、全3巻。古典力学の基礎を築いた画期的なもので、近代科学における最も重要な著作の1つ。運動の法則を数学的に論じ、天体の運動や万有引力の法則を扱っている。Principia という略称でもよく知られている。日本語では『自然哲学の数学的原理』、『プリンキピア』、あるいは『プリンシピア』とも表記される（岡邦雄訳、春秋社、1930年や、中野猿人訳、講談社、1977年等）
18世紀にはラグランジュがニュートン力学以後の力学の研究成果を統合し『解析力学』（1788）にまとめることになった（解析力学。ラグランジュ力学）。