>>319 補足
>クロネッカー・ウェーバーの定理と証明のあらすじ（その１）

下記
「1 の（複素）n 乗根の全体は複素数の乗法に関して位数 n の巡回群を成す」
なので、ガロア理論によれば
任意のアーベル拡大に対して、十分大きなnをとって、位数 n の巡回群の中に
アーベル拡大によるアーベル群が実現できるかを調べるべし

これが、すぐ思いつく筋です
調べると、”有限生成アーベル群の基本定理”（下記）なるものがあって、これが使える
かつ、巡回群の基本定理の基本定理もあり、これも使える

実際、tsujimotter氏は、ほぼこの線で話を進めています

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%B7%A1%E5%9B%9E%E7%BE%A4
巡回群

性質
巡回群の基本定理は、「G が位数 n の巡回群ならば G の任意の部分群はそれ自身巡回群であること」、さらには「 G の任意の部分群の位数は n の約数であって、n の各正の約数 k に対して G が位数 k の部分群をちょうど一つ持つこと」[1]を主張するものである。この性質によって有限巡回群が特徴付けられる。すなわち「位数 n の群が巡回群となるための必要十分条件は、n の任意の約数 d に対して位数 d の部分群をちょうど一つ持つこと」[1]である。これは「位数 n の群が巡回群となるための必要十分条件は、n の任意の約数 d に対して位数 d の部分群を高々一つ持つこと」[1]としても同じであり、しばしばこの形で用いられる。

つづく