ところで
ガロワと方程式 1989 草場 公邦 （下記 hiroyukikojima’s blog ）
P143
6.4　巡回拡大とベキ根拡大
で
定理6.11 正規底定理
有限次ガロア拡大 K/Fに対して、Gal(K/F)={s1,s2,・・・,sn}とすると、Kの元cで(s1(c),s2(c),・・・sn(c))が、KのFの基底となるようなものがある。
K={f1s1(c)+f2s2(c)+・・・+fnsn(c);fi∈F}
”この定理は、cの存在さえ知っていればいいのと、cの作り方に一定の方式がないことのため、証明(長い！)は省略します（例えば、藤崎源二郎：体とガロア理論、岩波講座 基礎数学、§3.7を参照）”
とあって、証明を藤崎源二郎へ丸投げ（＾＾

しかし、足立 ガロア理論講義 P143 では
（足立氏は、草場の記号cをαとしている）
「α≠0ならば下の問題によってK(α)=Lが成り立つから、このようなαの存在を言えば、証明が終わったことになる。それも演習問題とすることにしよう。
問題6.1
(1)α≠0ならばK(α)=Lが成り立つことを証明せよ
(2)L=K(θ)を満たすθを取り、ξ＝θ^jとするとき、少なくとも一つのj(j=0,1,2,・・・,n-1)に対しては証明中で定義したαが0にならないことを背理法によって証明せよ」
（注：αの定義 α＝Σ i=0〜n-1 ζ^i・σ^i(ξ） ξ∈L, ζは1の原始n乗根, σはガロア群Gの生成元で L/Kは巡回拡大）
とあって、P218 に解答があり、曰く「・・これはヴァンデルモンド型の行列式だから・・値が0ということはありえない」
と８行で終わっている。

草場では、たぶん正規底定理 の存在証明を構成的に行う 藤崎源二郎の方式を想定しているのか（藤崎源二郎は未確認だが）
足立では、背理法によったのとヴァンデルモンド型の行列式に帰着させているので、短いのだろう

一つの本を鵜呑みにするな＊）の例ですね（注＊）”証明(長い！)（例えば、藤崎源二郎”）

(参考)
https://hiroyukikojima.はてなブログ/entry/20080327
hiroyukikojima’s blog
2008-03-27
ガロアの定理をわかりたいならば
最近になって出会って、すばらしいと思っているのは草場公邦先生の本である。以下の三冊を読んだ。

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ガロワと方程式 1989/7/1 草場 公邦 (著) 朝倉書店

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体とガロア理論 (岩波基礎数学選書) 単行本 – 1997/9/1
藤崎 源二郎 (著)
https://www.kosho.or.jp/products/detail.php?product_id=502627203
日本の古本屋
体とGalois理論　1〜3 ＜岩波講座基礎数学＞
藤崎源二郎著 岩波書店 1977年 3分冊

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ガロア理論講義 (日評数学選書) 単行本 – 2003/4/1
足立 恒雄 (著)