補足：下記 中野伸先生がいいね
上記 定理6.11 正規底定理 は、補題13.3 (デデキント) で 16行で証明終わり

(参考)
https://pc1.math.gakushuin.ac.jp/~shin/lecture2023.html
中野　伸（教授）学習院
https://pc1.math.gakushuin.ac.jp/~shin/html-files/Alg2/2023/13kummer.pdf
代数II 2023年度
§13.クンマー拡大
P49
以下において扱う体はすべてCの部分体とする．また，自然数nに対して，ζn∈Cを1の原始n乗根とする．
すなわち，ζn∈C×であって，その位数がnであるとする
（ζn=e^2πi/nであるとしてよい）．

P50
定義13.2前定理のようにして与えられる拡大L/Kを自然数nに関するクンマー拡大という．すなわち，体の拡大L/Kがnに関するクンマー拡大であるとは，Kが1の原始n乗根ζnを含み，あるa∈K×についてαn=aをみたすαによってL=K(α)と表されることである．クンマー拡大は，しばしばL=K(n √a)とも表される．

この節と次の節で，ベキ根拡大と有限次塁アーベル拡大との密接な関係，すなわち，これらの拡大が“本質的”に同等であることを述べる（定理13.6および定理14.2を参照）

P51
補題13.3 (デデキント)
Γを乗法群とし，σ1,...,σnをΓからC×への相異なる準同型写像とする．
このとき，(c1,...,cn)≠(0,...,0)をみたす任意の(c1,...,cn)∈Cに対して
Σ i=0〜n−1 ciσi(γ)=c1σ1(γ)+···+cnσn(γ)≠0
をみたすγ∈Γが存在する．
証明
対偶，すなわち，c1,...,cn∈Cとするとき，
∀γ∈Γに対してΣ i=0〜n−1 ciσi(γ)=0 =⇒ c1=···=cn=0を
nに関する数学的帰納法によって示す．
n=1のときはあきらかである．
略（16行で証明終わり）

P52
定理13.8
nを自然数とし，体Kは1の原始n乗根ζnを含むとする．
もしL/Kがn次巡回拡大ならば，あるa∈K×が存在して，L=K(n √a)と表される．
すなわち，ζn∈KならばK上のn次巡回拡大は巡回クンマー拡大である．
証明
ζ=ζnと略記する．σをGal(L/K)の生成元とする;
Gal(L/K)=σ = {1,σ,σ^2,...,σ^n−1} , σ^n=1.
いま，Γ=L×, σi=σ^(i−1)およびci=ζ^−(i−1) (i=1,...,n)として前補題を適用すれば，
Σ i=0〜n−1 ζ^−iσ^i(γ)=γ+ζ^−1σ(γ)+···+ζ^(−(n−1))σ^(n−1)(γ)≠0
をみたすγ∈Lが存在する．
この和をαとすると，0≠α∈Lであって
σ(α)= Σ i=0〜n−1 ζ^−iσ^(i+1)(γ)=ζΣ i=0〜n−1 ζ^−(i+1)σ^(i+1)(γ)=ζα,
両辺をn乗してσ(αn)=αnを得る．
σはGal(L/K)の生成元だから，αnはGal(L/K)の不変体Kに属する．
すなわちα^n∈Kであり，X^n−α^n∈K[X]となるから，K(α)/Kは巡回クンマー拡大である．
さらに，σ(α)=ζα, σ^2(α)=σ(ζα)=ζσ(α)=ζ^2α,...より，
Conj(α,K)= {α,ζα,ζ^2α,...,ζ^(n−1)α}であるが，
α≠0なので|Conj(α,K)|=n，したがってX^n−α^nがαのK上の最小多項式でなければならず，L=K(α)が得られる