石井本「ガロア理論の頂を踏む」(20130825版 第6刷)
第６章「根号で表す」　１　１のｎ乗根をベキ根で表す
で、円分方程式を解いてます

定理６．１　１のｎ乗根はベキ根を用いて表すことができる

ｎ＝１，２，３の時は解けるし、
ｎが合成数の場合は素因数に分解して１の各素因数乗根の冪根で表せる
したがってｎが素数の場合に解ければいい

p417でn=7の場合として、いきなり
f(x,y)=y^3+xy^2+x^2y^6+x^3y^4+x^4y^5+x^5y
というx,yの多項式を出して、xに1の6乗根ω、yに1の7乗根ζを入れている

実はこれがラグランジュの分解式
c+ζ^n-1σ(c)+ζ^n-2σ^2(c)+・・・+ζσ^n-1(c)

σ(x)=x^5　c=ζ^3　σ^n(x)はσ(x)のn回反復、とすれば

　σ(c)=σ(ζ^3)=(ζ^3)^5=ζ^15=ζ
σ^2(c)=σ(ζ)=ζ^5=ζ^5
σ^3(c)=σ(ζ^5)=(ζ^5)^5=ζ^25=ζ^4
σ^4(c)=σ(ζ^4)=(ζ^4)^5=ζ^20=ζ^6
σ^5(c)=σ(ζ^6)=(ζ^6)^5=ζ^30=ζ^2
σ^6(c)=σ(ζ^2)=(ζ^2)^2=ζ^10=ζ^3=c

したがって
　c+ζ^n-1σ(c)+ζ^n-2σ^2(c)+・・・+ζσ^n-1(c)
=ζ^3+ω^5ζ+ω^4ζ^5+ω^3ζ^4+ω^2ζ^6+ωζ^2
=ζ^3+ωζ^2+ω^2ζ^6+ω^3ζ^4+ω^4ζ^5+ω^5ζ