S := {t ∈ I : f(t) = M} とする。
N := f(inf S) とする。

N < M と仮定して矛盾を導く。

f は連続だから、 ε := M - N に対して、正の実数 δ で以下をみたすようなものが存在する。

|t - inf S| < δ and t ∈ I ⇒ |f(t) - N| < ε

一方、

inf S ≦ t0 < inf S + δ をみたす t0 ∈ S が存在する。


|t0 - inf S| < δ and t0 ∈ I ⇒ |f(t0) - N| < ε = M - N
よって、 f(t0) < M

一方、 t0 ∈ S だから f(t0) = M

これは矛盾である。