松村「可換環論」の定理2.5の証明がわかりません。

定理2.5
(A, m)を局所環、MをA上有限生成射影加群。
このとき、Mは自由加群。

(ω_1, ..., ω_n)をMの極小基。
（M/mMをA/mベクトル空間と見たときの基底の原像になっているもの）

F = Aω_1⊕...⊕Aω_nとおく。
全射φ: F → M (φ(⊕a_iω_i) = Σa_i ω_i)の核をKとする。
(ω_i)の取り方から、K⊂mF。

Mは射影加群だから、ψ: M → Fで、φ○ψ = id_Mとなるものが取れる。
よって、完全列0 → K → F → M → 0が分裂するので、F～ψ(M)⊕Kとなる。

これから、K = mK。　←これをどう示すのかがわからないです。