>>803

S := {a_1, a_2, …} とする。
{a_n} に同じ数が無数に含まれることがなければ、 {a_n} が a に収束することは、 S が有界で a が S の唯一の集積点であることと同等である。

{a_n} が a に収束するとする。
収束する点列は有界だから、 S = {a_1, a_2, …} は有界である。
S に a 以外の集積点 b があるとする。
容易にわかるように、 b に収束する {a_n} の部分列が存在する。
a に収束する点列 {a_n} の部分列は、 a に収束するからこれは矛盾である。
よって、 S の集積点は a しかない。

逆に、 S が有界で a が S の唯一の集積点であるとする。
{a_n} が a に収束しないと仮定する。
すると、正の実数 ε で、 無数の自然数 n に対して、 x_n ∈ B(a, ε) でないようなものが存在する。
x_n ∈ B(a, ε) でないような自然数を小さい順にならべた列を m_1, m_2, … とする。
{a_n} には同じ数が無数に含まれることはないから、 {a_{m_1}, a_{m_2}, …} は無限集合である。
{a_{m_1}, a_{m_2}, …} ⊂ S で、 S は有界集合であるから、有名な定理によって、 {a_{m_1}, a_{m_2}, …} には集積点 b が存在する。
B(a, ε) の補集合 C は閉集合であり、 {a_{m_1}, a_{m_2}, …} ⊂ C だから、 b ∈ C である。
よって、 a ≠ b である。
b は S = {a_1, a_2, …} の集積点でもあるから、これは矛盾である。
よって、 {a_n} は a に収束する。