実は、問題の点 x ∈ I で、 φ'(x) = 0 であることが証明できるといいことがあります。

まず、 φ(x) = x^2 * sin(1/x) for x ∈ [-1, 1] - {0}, φ(0) = 0 と定義します。
φ は [-1, 1] で有界変動です。

f を [-1, 1] で連続で、 f(0) ≠ 0 であるような関数とします。

すると、 f は φ に関し [-1, 1] でStieltjes積分可能です。

杉浦さんの問題によると以下が成り立ちます：

「
不定積分 F(x) = ∫_{-1}^{x} f(t) dφ(t) (x ∈ [-1, 1]) は以下をみたす。

φ'(x) が存在し、 f が連続である点 x ∈ I で F は微分可能で、次式が成立つ：

F'(x) = f(x) * φ'(x)
」

φ'(0) は存在します。
f は 0 で連続です。
ですので、 F は 0 で微分可能で、 F'(0) = f(0) * φ'(0) が成り立ちます。
他の点 x ∈ [-1, 1] - {0} においても φ'(x) は存在しますし、 f は x で連続です。
ですので、F は x ∈ [-1, 1] - {0} で微分可能で、 F'(x) = f(x) * φ'(x) が成り立ちます。

F' は 0 で連続ではありません。
なぜなら、もし連続であるならば、 lim_{x→0} φ'(x) = lim_{x→0} F'(x) / f(x) = F'(0) / f(0) となってしまうからです。