ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ6

このスレは、ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレです
関連は、だいたい何でもありです（現代ガロア理論＆乗数イデアル関連他文学論まで）

前スレ
ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ5
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1687778456/

資料としては、まずはこれ
https://sites.google.com/site/galois1811to1832/
ガロアの第一論文を読む
渡部 一己 著 （2018.1.28）
PDF
https://sites.google.com/site/galois1811to1832/galois-1.pdf?attredirects=0

＜乗数イデアル関連＞
ガロア第一論文及びその関連の資料スレ
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1615510393/785 以降ご参照
https://en.wikipedia.org/wiki/Multiplier_ideal Multiplier ideal
https://mathoverflow.net/questions/142937/motivation-for-multiplier-ideal-sheaves motivation for multiplier ideal sheaves asked Sep 23, 2013 Koushik

＜層について＞
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%B1%A4_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)
層 (数学)
https://en.wikipedia.org/wiki/Sheaf_(mathematics)
Sheaf (mathematics)
https://fr.wikipedia.org/wiki/Faisceau_(math%C3%A9matiques)
Faisceau (mathématiques)

あと、テンプレ順次

つづく

つづき

可測集合と測度零の集合.
ユークリッド空間Rdの部分集合Aが可測であるとは,Aの定義関数(すなわち,A上で1になり,Aの外で0になる関数)が可測になるときをいう.

フビニの定理.
これもリーマン積分で経験済みだと思うが,二変数関数を各変数に関して逐次積分するとき,その順序を交換することで計算が進んで,その結果,非自明な等式が得られることがある.また,逐次積分を二変数関数の積分と見なして,後者を極座標など変数変換によって計算し,それを一変数関数の積分の計算に応用できたりもする.これらが可能になるための十分条件を与えるのがフビニの定理である:

Lp空間.二つの可測関数がほとんどすべての点で一致するとき,それらは同値であるということにする. p∈[1,∞)に対し,Rd上の複素数値可測関数fで|f|pが可積分になるようなものを考え,その同値類からなる集合をLp(Rd)とかく.これは自然にC上のベクトル空間になることが示される.

ルベーグ測度とその正則性.
可測集合Aに対し,その定義関数の積分値はAの長さ・面積・体積といったものに相当する(次元dによって呼び名が変わる).これをm(A)とかきAの測度ということにする.可測集合全体の上で定義されるこの関数mのことをRd上のルベーグ測度という.可測関数を定義していないので,可測集合も定義したことになっていないのだが,可測集合についてはさしあたり次の事実を知っておくべきだろう:Rdの任意の可測部分集合Aに対し,m(A)<∞ならば,Aは下からコンパクト集合で,上から開集合で近似できる.つまり,任意のε>0に対し,Rdのコンパクト集合Kと開集合Uが存在して,K⊂A⊂Uかつm(U\K)<εとなる.m(A)=∞であっても,Aに含まれるコンパクト集合で任意の大きさの測度をもつものがとれる.この性質はルベーグ測度mの正則性と呼ばれる.

本来,可測関数のルベーグ積分はルベーグ測度に基づいて定義されるので,ここでの説明とは逆の順序で論理が展開される.ルベーグ積分の定義については適当な教科書を当たってほしい.ただ,このノートの中でルベーグ積分の定義を気にした場面はそれほど多くない.他にもここで述べなかった定理を使うことがあるが,それらは標準的な教科書で見つけられるものである.ルベーグ収束定理とフビニの定理に比較すると,それらを使う機会は稀である.
(引用終り)
以上

>>231
>第0講ルベーグ積分 引用の最後
>「本来,可測関数のルベーグ積分はルベーグ測度に基づいて定義されるので,ここでの説明とは逆の順序で>論理が展開される」
>これが ”オチ”かよｗ
>木田良才先生は、関西人だな

追伸
・この 第0講ルベーグ積分 は、秀逸だよ
・短い中に、ルベーグ積分・ルベーグ測度の真髄がつまっている
・これを読んで、必要により ルベーグ積分・ルベーグ測度を学べば、理解が早い

畳み込み
英 Visual explanation が面白い

https://en.wikipedia.org/wiki/Convolution
Convolution

Visual explanation

Historical developments

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%95%B3%E3%81%BF%E8%BE%BC%E3%81%BF
畳み込み

歴史

>>227
>その”反日”は、…
どこの人間でも自国自慢は愚弄嘲笑する
君がニホンザルだから私の愚弄嘲笑の対象が日本と誤解したまで

>ところで、支配側の人と被支配側との、二分法が正しいかどうかだ
二分法を唱えたつもりはないが、
例えば所得やら資産やらの一人あたり平均値を求めて
それより上か下かで分けてもいいよ
分布の形からいって半々ではなく
上の人が少なく下の人が多い

>例えば、東大数学科から日銀総裁になった植田和男氏は 支配側の人？
然り　所得額はあきらかに平均より上だろう

>いま100人の村で考えよう。100人全員数学者では村は成り立たないｗ
はっきりいえば100人しかいないなら数学者は1人も要らないｗ
数学者は余計者なのだよ

>農業の人、商売人、警察官、医者・・ いろんな人が居て、村が成り立つ
警察官は要らないな　医者も要らんだろう

>村を大きくすれば市になり、もっと大きくすれば国になる
>みんなで、国を支えているんじゃないですか？
負担が同じではない 利益も同じではない
負担が大きいのに利益が小さい者がたくさんいる
負担が小さいのに利益が大きい者がいる
国家というのは後者が前者を働かせて儲けるためのシステム
人が生きていくのに国なんか要らん

>>228
>違うな ”説明した”ではなく、”証明した”だ
なお悪いなｗ
>社会で現実に起こっていることを議論するとき、
>たいていは なんらかの単純化が必要です
単純化が必要、ならば、単純化が正しい、といえるか？
いえるわけはない
単純化が正しいといえるのは、そこから導いた結論が現実と整合する場合だけ
いいかね、世の中は数学ではないのだよ
公理から演繹した定理だから「正しい」とはいえない
経済学とかいう学問は、どうもそのことを忘れて
「経済数学」とかいう珍奇なものを発明したようだが
>その議論が正しいかどうかは、時間が経ってみないとわからない（神のみぞ知る）
君の説は３秒で誰でも誤りと分かるがね　まあ君からみれば世間の人はみな神だなｗ
>その類いで、確率論を笑いのネタに使いました
君の理解する「確率論」が高校レベルってことがよくわかった
まあ、なんであれ君が自分の言葉で語った数学で
大学レベルのものなど一つもなかったが

>>229
>そこ、19〜20歳のガロアが考えて、
>シュバリエへの手紙で遺書として残したってことに
>「カルチャーショック」を受けてくれ
君は下らないことに「カルチャーショック」を受けるんだね（呆れ）

>>233
>この 第0講ルベーグ積分 は、秀逸だよ
>短い中に、ルベーグ積分・ルベーグ測度の真髄がつまっている
>これを読んで、必要により ルベーグ積分・ルベーグ測度を学べば、理解が早い
　君は、自分が理解できてないとコピペで誤魔化す
　しかもまっさきに安直な方法にすがる
　一番ダメなやつだな

>>203
>（リーマン積分でも ”測度”は当然使っていますが、”測度”という意識が無かっただけとか 藤田博司先生（愛媛大）が何かに書かれていました）

下記だった気がする
”2.3　リーマン積分 2.4　積分可能性をめぐる混乱”
辺り

(参考)
https://www.tenasaku.com/tenasaku/authorship.html
『「集合と位相」をなぜ学ぶのか――数学の基礎として根づくまでの歴史』
藤田 博司 著
技術評論社 2018年 3月19日

第2章　積分の再定義
2.3　リーマン積分
2.4　積分可能性をめぐる混乱

https://www.アマゾン
「集合と位相」をなぜ学ぶのか ― 数学の基礎として根づくまでの歴史 単行本（ソフトカバー） – 2018/3/6 藤田 博司 (著) 技術評論社
書評
目玉焼き
5つ星のうち4.0 数学の基礎概念の歴史を交えた”教科書ではない”解説書
2018年3月21日
内容は「商品の説明」にチャプターの題があるので軽く。
１章から３章で、１８世紀〜１９世紀頃の解析学が抱えていた問題点から実数や関数概念が整備されていく様子を語っています。
４章で、集合についての形式的な導入があり、基礎論に深入りしない程度に基本的で、普通の数学を記述するにも概ね充分と言える範囲で集合の概説をします。終わりに「濃度の相等」の概念から５章の話題に自然に繋げています。
５章では、位相の初歩を、６章では、測度論の初歩を話題にしています。
７章で、ユークリッドの原論の手法からブルバキの構造の視点までの大きな流れを話題にもってくることで、集合概念がもたらした変化を語っています。

教科書的で合理的な順序をなぞらず、集合論がなかった時代に大先輩たちが漠然と突き当たっていた解析の諸問題と歴史的経緯を絡めながら集合や位相の基本を語っています。
この本を手にとることで、学生にとって数学が思っていた以上に血の通った世界であったと感じられるきっかけになるかと思います。

つづく

つづき

Kuto
5つ星のうち5.0 「集合と位相」を学ぶ前に読みたい本
2022年10月28日
対象読者
大学の数学科での「集合と位相」を学ぶ人

「集合と位相」は抽象的で学ぶ理由も目的地も漠然としている、と学び始めた人は感じます。「なぜ、これを学ぶのか？」と。
この本は「集合と位相」という分野が整理、成立されるまでの数学者の研究の軌跡を描いています。数学的な厳密さと論理をもって。
「集合と位相」を学ぶ前に読みたい本としておススメします。

もなくゎ
5つ星のうち5.0 教科書ではありませんが
2018年3月22日
まえがきにもありましたが、本書は教科書ではありません。
しかし、集合と位相を学ぶ上での心構えを伝えてくれる（「そうか、だから君たちは学んでおくべきなんだね」と分からせてくれる）よい本だと思います。

自分は集合と位相に詳しいとはまだ言えませんが、ある程度の用語は知っていたので、特に躓くこともなく読み切ることができました。もちろん知らないことも多く出てきましたが、説明はあるので特に困りませんでした。
ストーリー仕立てで進む本書は、人物コラムも挿みながら数学の歴史を紐解いていってくれます。

自分が本書で特に評価したいのは、記号への配慮です。
逆写像と逆像の記法が区別されていたり、また複数の記法があるものに関して「こういうのもあるし、こういうのもある。うちではこうね」と注意書きがあったり（もちろんこんな口調で書かれてはいませんが）と、記号への配慮による読者への配慮が、極めて強く感じられました。文章もよく練られていて読みやすかったです。

あと、個人的に本書のミントグリーン？的な色合いが好きです。
このような読み物が増えると、数学に親しみを覚えてくれる人も増えてくれるかなあと思います。
(引用終り)
以上

>>237
>>そこ、19〜20歳のガロアが考えて、
>>シュバリエへの手紙で遺書として残したってことに
>>「カルチャーショック」を受けてくれ
>君は下らないことに「カルチャーショック」を受けるんだね（呆れ）

・以前、ラグランジュの分解式＝ガロワ理論と錯覚していたアホがいたけど
　そいつが、数学科出身と聞いて「カルチャーショック」を受けたよｗ
・君は>>224『むしろ第二段階で
「部分群による左同値類と右同値類が同じになるとは限らない？
　で、同じになる場合は、同値類同士の演算が群を為す？
　おお、なるほど！数学ってこんな”細かいこと”まで考えてるんですね！
　で、これ何に使うんですか？」
　というのが「カルチャーショック」』
　というが、それは
　ガロア20歳の遺稿（シュバリエへの手紙）そのものってことさ>>229

まあ、落ちこぼれには分からないだろうさｗ

>>241
>以前、ラグランジュの分解式＝ガロワ理論と錯覚していたアホがいたけど
君の記憶は、君の都合で改変されるねｗ
「代数方程式の解がベキ根で表せることとラグランジュの分解式で解けることは同値」
といった人がいるのは知っているし、それは正しい

>（正規部分群について）
>それはガロア20歳の遺稿（シュバリエへの手紙）そのもの
　だから何なんだろう？
　そもそももっと驚くべき結果についても述べてたと思うがな
　そこか理解できないので割愛？　君は本当にわかりやすいね

>>236
>>社会で現実に起こっていることを議論するとき、
>>たいていは なんらかの単純化が必要です
>単純化が必要、ならば、単純化が正しい、といえるか？

例えば、ニュートン力学では
物体の運動を、質点というもので考える
しかし、実際の物体は大きさを持つから、質点はあくまで現実を単純化したものです！！

すべからく、現実に対しての理論を考えるとき、なんらかの単純化をした方が
理論的には、取り扱い易くなるのです
これは、囲碁でいう”常用の筋（スジ）”というやつですよｗ

>大学レベルのものなど一つもなかったが

あれあれ？ｗ >>203 一般関数 英語ではgenerallized function 「線形位相空間と一般関数 共立数学講座16」山中健
完全にスルーかよ シュワルツの超函数論、佐藤 hyperfunction 壊滅かな

>>244
ニュートン力学の単純化が「正しい」とされたのは
当時の実験結果と整合したから
しかし、より精密な実験では整合しなくなった
マイケルソン＝モーリーの実験のことだけどな

＞あれあれ？一般関数　完全にスルーかよ

シキタカK君、自分の言葉で何一つ説明できてないのでノーカウント

ま、君が積分分かってるかどうか、
>>243の答えで判定してあげるから

頑張ってｗ

243は文字小さいので再書き込みｗ

さて、シキタカK君に問題
（初級）リーマン積分の定義を書け
（中級）いかなる関数がリーマン可積分かその条件を書け
（上級）
１　ルベーグ積分の定義およびルベーグ可積分の条件を書け
２　さらにリーマン可積分でないがルベーグ可積分な関数を１つ挙げ
そのことをリーマン可積分の条件及びルベーグ可積分の条件に照らして示せ

最初の２問は大学１年の微分積分学を理解していれば答えられる
最後の１問もルベーグ積分を理解していれば答えられる

ま、頑張ってｗ

>>245
>ニュートン力学の単純化が「正しい」とされたのは
>当時の実験結果と整合したから
>しかし、より精密な実験では整合しなくなった
>マイケルソン＝モーリーの実験のことだけどな

分かってないな
・君は、論理の首尾一貫性の貫徹が弱いね
　それじゃ数学は、出来ないだろうな
・そもそも>>244”物体の運動を、質点というもので考える
　しかし、実際の物体は大きさを持つから、質点はあくまで現実を単純化したものです！！”
　だった
・これに対して、「マイケルソン＝モーリーの実験」は、特殊相対性理論の範囲だから
　”実際の物体は大きさを持つ→質点近似”
　は、なお有効です
・しかし、一般性相対性理論では、質点近似が不適切になる場合は多い
　質点近似で、大きさの無い１点に質量が集中するという近似は
　一般性相対性理論では特異点になるから、ブラックホールなどを考える必要が出てくる

(参考)
https://www.oit.ac.jp/is/shinkai/lecture/iwate202202/RelativityText_Shinkai_2022Feb.pdf
岩手大学　2021年度「現代物理学１（後半）」集中講義　2022年2月　version3(2022-0219)
相対性理論　アインシュタインはどこまで正しいのか真貝寿明（大阪工業大学）http://www.oit.ac.jp/is/shinkai/
　本講義では，相対性理論とその検証にまつわる技術を紹介する．　理学的な視点としては，Einsteinの導いた2つの相対性理論（特殊相対性理論と一般相対性理論）の概略，およびそれらが導くブラックホールや重力波の問題を概観する．

一つ質問に答えると、味をしめて 新たに二つ質問が
それに答えると、また味をしめて 新たに二つ三つ質問が
　・
　・
　・

そしてエンドレスになる
見えているじゃんｗ

その手には
乗りませんよｗｗ

一つも答えてない輩の言う台詞じゃないな

>>248
247と249は
スルーしてよい

>>248
>一つ質問に答えると、味をしめて 新たに二つ質問が
>それに答えると、また味をしめて 新たに二つ三つ質問が
>そしてエンドレスになる　見えているじゃん
>その手には乗りませんよ
>>249
>一つも答えてない輩の言う台詞じゃないな

まったくだ
完璧に答えれば次の質問はない
次の質問があるのは答えがまずいから
要するに自ら答えられないって白状してんじゃん

>>246
＞（初級）リーマン積分の定義を書け

積分区間を、任意の小区間の集まりに細分し、その中からそれぞれ１点をとる
その１点での関数の値と小区間の長さを掛けた値の和をとる
小区間の細分によって、和の値がある値に収束するとき、
その収束値が関数の区間でのリーマン積分の値である
（収束の定義にはもちろん小区間の長さの最大値δと範囲εに関するε‐δ論法を使う）

>>246
＞（中級）いかなる関数がリーマン可積分かその条件を書け

実は252でリーマン可積分の条件書いちゃったので、
同値な条件を一つ書いておく

R^n の有界閉区間 I 上の有界関数 f: I → R に対し、
f が I 上リーマン可積分であることと、
f がほとんど至るところ連続であること（※）は同値

（※ f の不連続点全体の集合が零集合）

>>246
（上級）問題は残しておくわｗ
ただ、リーマン可積分でない関数の例だけ示してあげるねｗ

区間[0,1]について有理数の点で0、無理数の点で1となる関数

これは区間の至るところで不連続なのでリーマン可積分でない

一方以下の関数はリーマン可積分である

区間[0,1]について有理数の点で1-1/n (nは既約分数の分母)、無理数の点で1となる関数

なぜなら、有理数点では不連続だが、無理数点では連続だから

余談だけどリーマン積分は実は「ルベーグ式」にも定義できる
その場合、測度をルベーグ測度ではなく別の”測度”にする
さてその”測度”とは何で、ルベーグ測度とは何が違うでしょう？

ルベーグ可測だがその”測度”では非可測な集合の例は？
（ヒント　>>254）

>>254

>区間の至るところで不連続なのでリーマン可積分でない

これの証明を３行以内で述べよ

pを素数としn=p-1とおく。
[0,1]をn等分し左から順にΔkとする。
各Δkに分母がpの既約分数がちょうどひとつずつあるのでそれをXkとする。
一方各Δkから無理数Ykを選んでおく

Σf(Xk)|Δk| = p(1-1/p)/(p-1)
Σf(Yk)|Δk| = 0

>>256
リーマン可積分なら253で述べた通りほとんど至るところで連続である
一方、至るところで不連続といってる、これは矛盾である
したがってリーマン可積分でない　ほら三行でいえた

ちなみに>>253の証明なら以下

　ほとんど至るところで連続
⇔ほとんど至るところの点を含むδ以内の区間でその中での関数の値の差がε以内になるようなものがとれ
　δを小さくすればするほどその区間の合計の長さが元の区間の長さに収束する
⇔リーマン可積分

>>259
不明確

>>259
kwsk

リーマン可積分⇒微分可能でない点の集合が測度０

の方がわからん

>>259-260
なるほど
某Ｎ大Ｏゼミか

”大学数学ゼミ、かくあるべし”！
そう主張していた人が居たねｗ

ツッコミが有って本望だろう
頑張れよ

>>260 その指摘が不明確かと

>>261
区間[0,1]について有理数の点で0、無理数の点で1となる関数、は至る所不連続
区間[0,1]について有理数の点で1-1/n (nは既約分数の分母)、無理数の点で1となる関数、はほとんど全ての点（無理数点）で連続
なのは、わかる？

>>261-263
>>>260 その指摘が不明確かと

やれやれ、日wikipediaに書いてあることを自慢して
ちょっとツッコミあると沈没か？ｗ

さて
リーマン可積分⇒微分可能でない点の集合が測度０
　↓
リーマン可積分⇒連続でない点の集合が測度０
ですな

"R^n の有界閉区間 I 上の有界関数 f: I → R に対し、
f が I 上リーマン可積分であることと、
f がほとんど至るところ連続であること（※）は同値
（※ f の不連続点全体の集合が零集合）"
だったね

これの証明は、下記の英wikipediaにある
（Integrability 可積分性条件 the Lebesgue-Vitali theorem な）
(参考)
https://en.wikipedia.org/wiki/Riemann_integral
Riemann integral

Integrability
A bounded function on a compact interval [a, b] is Riemann integrable if and only if it is continuous almost everywhere (the set of its points of discontinuity has measure zero, in the sense of Lebesgue measure). This is the Lebesgue-Vitali theorem (of characterization of the Riemann integrable functions). It has been proven independently by Giuseppe Vitali and by Henri Lebesgue in 1907, and uses the notion of measure zero, but makes use of neither Lebesgue's general measure or integral.
The integrability condition can be proven in various ways,[4][5][6][7] one of which is sketched below.

Proof
The proof is easiest using the Darboux integral definition of integrability (formally, the Riemann condition for integrability) – a function is Riemann integrable if and only if the upper and lower sums can be made arbitrarily close by choosing an appropriate partition.
One direction can be proven using the oscillation definition of continuity:[8] For every positive ε, Let Xε be the set of points in [a, b] with oscillation of at least ε. Since every point where f is discontinuous has a positive oscillation and vice versa, the set of points in [a, b], where f is discontinuous is equal to the union over {X1/n} for all natural numbers n.

つづく

つづき

If this set does not have zero Lebesgue measure, then by countable additivity of the measure there is at least one such n so that X1/n does not have a zero measure. Thus there is some positive number c such that every countable collection of open intervals covering X1/n has a total length of at least c. In particular this is also true for every such finite collection of intervals. This remains true also for X1/n less a finite number of points (as a finite number of points can always be covered by a finite collection of intervals with arbitrarily small total length).

For every partition of [a, b], consider the set of intervals whose interiors include points from X1/n. These interiors consist of a finite open cover of X1/n, possibly up to a finite number of points (which may fall on interval edges). Thus these intervals have a total length of at least c. Since in these points f has oscillation of at least 1/n, the infimum and supremum of f in each of these intervals differ by at least 1/n. Thus the upper and lower sums of f differ by at least c/n. Since this is true for every partition, f is not Riemann integrable.

We now prove the converse direction using the sets Xε defined above.[9] For every ε, Xε is compact, as it is bounded (by a and b) and closed:

For every series of points in Xε that is converging in [a, b], its limit is in Xε as well. This is because every neighborhood of the limit point is also a neighborhood of some point in Xε, and thus f has an oscillation of at least ε on it. Hence the limit point is in Xε.
Now, suppose that f is continuous almost everywhere. Then for every ε, Xε has zero Lebesgue measure. Therefore, there is a countable collections of open intervals in [a, b] which is an open cover of Xε, such that the sum over all their lengths is arbitrarily small. Since Xε is compact, there is a finite subcover – a finite collections of open intervals in [a, b] with arbitrarily small total length that together contain all points in Xε. We denote these intervals {I(ε)i}, for 1 ≤ i ≤ k, for some natural k.

The complement of the union of these intervals is itself a union of a finite number of intervals, which we denote {J(ε)i} (for 1 ≤ i ≤ k − 1 and possibly for i = k, k + 1 as well).

つづく

つづき

We now show that for every ε > 0, there are upper and lower sums whose difference is less than ε, from which Riemann integrability follows. To this end, we construct a partition of [a, b] as follows:

Denote ε1 = ε / 2(b − a) and ε2 = ε / 2(M − m), where m and M are the infimum and supremum of f on [a, b]. Since we may choose intervals {I(ε1)i} with arbitrarily small total length, we choose them to have total length smaller than ε2.

Each of the intervals {J(ε1)i} has an empty intersection with Xε1, so each point in it has a neighborhood with oscillation smaller than ε1. These neighborhoods consist of an open cover of the interval, and since the interval is compact there is a finite subcover of them. This subcover is a finite collection of open intervals, which are subintervals of J(ε1)i (except for those that include an edge point, for which we only take their intersection with J(ε1)i). We take the edge points of the subintervals for all J(ε1)i − s, including the edge points of the intervals themselves, as our partition.

Thus the partition divides [a, b] to two kinds of intervals:

Intervals of the latter kind (themselves subintervals of some J(ε1)i). In each of these, f oscillates by less than ε1. Since the total length of these is not larger than b − a, they together contribute at most ε∗
1(b − a) = ε/2 to the difference between the upper and lower sums of the partition.
The intervals {I(ε)i}. These have total length smaller than ε2, and f oscillates on them by no more than M − m. Thus together they contribute less than ε∗
2(M − m) = ε/2 to the difference between the upper and lower sums of the partition.
In total, the difference between the upper and lower sums of the partition is smaller than ε, as required.
(引用終り)
以上

補足
>Proof
>The proof is easiest using the Darboux integral definition of integrability (formally, the Riemann condition for integrability) – a function is Riemann integrable if and only if the upper and lower sums can be made arbitrarily close by choosing an appropriate partition.

”the Darboux integral definition of integrability”は、日wikipediaにも説明あるよ
もちろん、英wikipediaにも詳しい説明がある（下記）

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AA%E3%83%BC%E3%83%9E%E3%83%B3%E7%A9%8D%E5%88%86
リーマン積分

類似概念
リーマン積分の定義によく用いられるのがダルブー積分である。これは、ダルブー積分が技術的に単純で、リーマン可積分性とダルブー可積分性が同値になることによる。

https://en.wikipedia.org/wiki/Darboux_integral
Darboux integral

In the branch of mathematics known as real analysis, the Darboux integral is constructed using Darboux sums and is one possible definition of the integral of a function. Darboux integrals are equivalent to Riemann integrals, meaning that a function is Darboux-integrable if and only if it is Riemann-integrable, and the values of the two integrals, if they exist, are equal.[1] The definition of the Darboux integral has the advantage of being easier to apply in computations or proofs than that of the Riemann integral. Consequently, introductory textbooks on calculus and real analysis often develop Riemann integration using the Darboux integral, rather than the true Riemann integral.[2] Moreover, the definition is readily extended to defining Riemann–Stieltjes integration.[3] Darboux integrals are named after their inventor, Gaston Darboux (1842–1917).

Definition
略

>>266-269　それ日本で要約して書いてみ

>>270
>>>266-269　それ日本で要約して書いてみ

面白い漫才師だな
するりとうまく「体を入れ替える」話法ねｗ

下記は、君が”大学数学ゼミ、かくあるべし”！>>262
と主張していたことだよ

で、そのしたり顔の主張をつぶしに行ったのが、私です
”定義や定理を知らなければそこの部分が理解できないに決まっているんですから，
そういうところを素通りするのは数学の本の読み方として根本的に誤っています．”

のところだが、一見道理だが河東泰之氏の主張は 彼の実際の勉強法と乖離している（下記）
河東氏は、麻布中入学後「数学の本はわかってもわからなくても手当たり次第に読んだ」
「このころ一番難しくてわからないと思った本は，ヘルマンダー「多変数複素解析学入門」だった」という

思うに、理解というのは 多少分からないところがあっても、先に進むと分かるときがある
逆に、先に進まないと分からないことも多い

しかし、セミナーの進め方としては、それらを全部ひっくるめて”準備してこい”ってことでしょう
普段の勉強とセミナーの準備を混同して主張するやつがいるから、それを潰しに行ったのです ；ｐ）

(参考)
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1701712810/11-18
河東泰之「セミナーの準備のしかたについて」は本当に正しいのか？

>まず，当然書いてあることを理解することが第一歩です．
>黙って「何々である」とか，"It is easy to see...", "We may assume that...", "It is enough to show..."などと書いてあるのは
>すべて，なぜなのか徹底的に考えなくてはいけません．
>また自分の知らない定理や定義を使っているところがあれば当然，調べたり聞いたりしなくてはいけません．
>定義や定理を知らなければそこの部分が理解できないに決まっているんですから，
>そういうところを素通りするのは数学の本の読み方として根本的に誤っています．

そういう修行はまっぴら御免という人は
数学科に入って数学者になろうなんて思うのが間違いだよ

要は数学が分かりたくて数学科に入ったんだろうということ
別に全然分からんでもいいと諦めても結構だが
そういうことなら即刻転科しな

https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~yasuyuki/vitae2.htm
履歴書（非公式版） (5/1/2019)
1975年3月　私立麻布中学入学
このころは，数学の本はわかってもわからなくても手当たり次第に読んだ． 今に影響してるのは，Rudin "Functional Analysis", Arveson "An invitation to C*-Algebras", 斎藤正彦「超積と超準解析」，シュヴァルツ「位相と関数解析」など． 岩波「基礎数学」，ブルバキ「数学原論」(日本語訳)も当時出はじめたので買って読んだ． 数学セミナーも1年生の時から熱心に読んで，「エレガントな解答を求む」などをやっていた． このころ一番難しくてわからないと思った本は，ヘルマンダー「多変数複素解析学入門」だった． 友隣社や東大数学科の図書館にもこのころ行った．東大教養の自主セミナーでやっていた， "Topology from the differentiable viewpoint" (Milnor)にも出た．

>>271
>したり顔の主張をつぶしに行ったのが、私です
　他人の文章のコピペじゃ、つぶせないけど

　例えば>>259が要約でないというなら、何が決定的に足りないか示せば？
　ダルブー積分が何だか分かってますか？定義確認してます？

>普段の勉強とセミナーの準備を混同して主張するやつがいるから、それを潰しに行ったのです
　なんでそんなことでムキになるのかわからんけど
　潰しに行ったとかいって、わけもわからず他人の文章コピペしてすましてたら
　そりゃこういわれますよ
　「で、要点は何？」

麻布の出身では昔は
中村という先生が有名だった

一高での数学の記憶と言えばやはり例の「事件」であろう。　
それはメンゲこと田中正夫先生がレポート問題として出した、
「円環を平面で斜めに上手に切ると切り口が２つの相交わる円になることを示せ」という問題である。
　私はそれを「真面目に」計算して、それでも一工夫を加えて、
田中先生のご著書「立体解析幾何学」によるものよりはかなり短い証明を得て満足していた。　
ところが中村得之君はそれをベクトルを使って解き、
数行ですむ簡潔な解を示して、『これでいいんだよ』と言った。　
僕は論理的には解っても情緒的にはあまり解った気がしなかった。　
そこで私は自分には数学の才能がないことを悟って数学科を諦め、
才能がなくてもつぶしがききそうな物理学科を選んだ。　もっとも、
数学科へ進んだ中村君は後で『数学科で君と一緒でライバルになるのは困るなと思っていた』と言ってくれた。

>>271
>するりとうまく「体を入れ替える」話法
　それをやろうとしたのは ID:F9Ii6wqO
　でも他人の文章のコピペでごまかそうとしたのが失敗
　ゼミで問われているのは、どこかのだれかの理解ではなく説明者自身の理解
　そこが、まだわかってないみたいだね　わけもわからずレスバに勝ちたいだけの人には

>>276
261へのレスは？

>>277
>>261の訂正は？

>>278
261でないので代わりに訂正

>>259
kwsk

リーマン可積分⇒微分可能でない点の集合が測度０

の方がわからん

訂正
微分可能ーー＞連続

>>279　ご苦労様
259ではないが、259のどこが問題なんだろう？

つまり主張は

Riemann可積分 ⇔ 連続でない点の(Lebesgue?)測度0

証明kwsk

>>281
>Riemann可積分 ⇔ 連続でない点の(Lebesgue?)測度0
　Riemann可積分 ⇔ 連続でない点のLebesgue測度0
　逆に言えば、不連続点のLebesgue測度が0より大きいとき、そのときに限りRiemann可積分でない、ってことだね
　Darboux積分で上積分と下積分の差をある限界より小さくできない障害は不連続点
　その測度が0でない場合は区分をいくら小さくしても上積分と下積分の差が0に収束させることができない

>>282

>その測度が0でない場合は区分をいくら小さくしても上積分と下積分の差が0に収>束させることができない

これは測度の定義からすぐ出せますか？

>>283　ジョルダン外測度、ジョルダン内測度を用いる

>>284
測度の定義をきいたのではないよ

>>283
>>その測度が0でない場合は区分をいくら小さくしても上積分と下積分の差が0に収束させることができない
>これは測度の定義からすぐ出せますか？

カンニングですが、下記ですね
（>>266より再録）

https://en.wikipedia.org/wiki/Riemann_integral
Riemann integral
Integrability
A bounded function on a compact interval [a, b] is Riemann integrable if and only if it is continuous almost everywhere (the set of its points of discontinuity has measure zero, in the sense of Lebesgue measure). This is the Lebesgue-Vitali theorem (of characterization of the Riemann integrable functions). It has been proven independently by Giuseppe Vitali and by Henri Lebesgue in 1907, and uses the notion of measure zero, but makes use of neither Lebesgue's general measure or integral.

The integrability condition can be proven in various ways,[4][5][6][7] one of which is sketched below.

Proof
The proof is easiest using the Darboux integral definition of integrability (formally, the Riemann condition for integrability) – a function is Riemann integrable if and only if the upper and lower sums can be made arbitrarily close by choosing an appropriate partition.

One direction can be proven using the oscillation definition of continuity:[8] For every positive ε, Let Xε be the set of points in [a, b] with oscillation of at least ε. Since every point where f is discontinuous has a positive oscillation and vice versa, the set of points in [a, b], where f is discontinuous is equal to the union over {X1/n} for all natural numbers n.

つづく

つづき

If this set does not have zero Lebesgue measure, then by countable additivity of the measure there is at least one such n so that X1/n does not have a zero measure. Thus there is some positive number c such that every countable collection of open intervals covering X1/n has a total length of at least c. In particular this is also true for every such finite collection of intervals. This remains true also for X1/n less a finite number of points (as a finite number of points can always be covered by a finite collection of intervals with arbitrarily small total length).

For every partition of [a, b], consider the set of intervals whose interiors include points from X1/n. These interiors consist of a finite open cover of X1/n, possibly up to a finite number of points (which may fall on interval edges). Thus these intervals have a total length of at least c. Since in these points f has oscillation of at least 1/n, the infimum and supremum of f in each of these intervals differ by at least 1/n. Thus the upper and lower sums of f differ by at least c/n. Since this is true for every partition, f is not Riemann integrable.

We now prove the converse direction using the sets Xε defined above.[9] ・・
(引用終り)

＜補足＞
１）Proofで、Darboux integral https://en.wikipedia.org/wiki/Darboux_integral
　に持ち込むのが、定石のようです
　Darboux integralを見ると、"supとinf" https://manabitimes.jp/math/1140 高校数学の美しい物語 sup(上限)とinf(下限)の意味，max・minとの違い 2022/08/15
　この"supとinf"は、数学では常用の手筋ですね
２）上記”One direction”は、「不連続の点の集合がmeasure zero→Darboux integral 不可」ですね
　背理法ですね。”If this set does not have zero Lebesgue measure, then by countable additivity of the measure there is at least one such n so that X1/n does not have a zero measure.”
３）そして、測度0でなければ
　”Thus these intervals have a total length of at least c. Since in these points f has oscillation of at least 1/n, the infimum and supremum of f in each of these intervals differ by at least 1/n. Thus the upper and lower sums of f differ by at least c/n. Since this is true for every partition, f is not Riemann integrable.”
　を導きます
　このとき、”oscillation ”https://en.wikipedia.org/wiki/Oscillation_(mathematics)
　を使って、不連続の評価をしています。（不勉強で、”oscillation ”は初見でしたが、面白いですね。定石かも）
　”For every positive ε, Let Xε be the set of points in [a, b] with oscillation of at least ε.”に続きます

つづく

つづき

この後、We now prove the converse direction は、各自ご参照ください

余談ですが、ある数学者の本の奥付に、囲碁７段格とあって やりすぎと思いましたが
囲碁用語の定石＆手筋で、数学を説明すると 分かりやすい
この方の場合、囲碁も数学の役に立っているのではと思っています　 ^^)
以上

>>287 訂正

２）上記”One direction”は、「不連続の点の集合がmeasure zero→Darboux integral 不可」ですね

２）上記”One direction”は、「不連続の点の集合がmeasure zeroでない→Darboux integral 不可」ですね

>>287-289 補足の補足
>２）上記”One direction”は、「不連続の点の集合がmeasure zeroでない→Darboux integral 不可」ですね
>　背理法ですね。”If this set does not have zero Lebesgue measure, then by countable additivity of the measure there is at least one such n so that X1/n does not have a zero measure.”

えーと、対偶だったな？ (>_<)
「不連続の点の集合がmeasure zeroでない→Darboux integral 不可」
の対偶
「Darboux integral 可 → 不連続の点の集合がmeasure zero 」

で
Darboux integral 可＝Riemann integral 可
ですね

訂正追加か (>_<)

>"supとinf"は、数学では常用の手筋ですね
　それだけだとバカでもいえる
　supとinfの差を0に近づけられるというのが、常用の手筋
　といえばバカでないなとわかる

コピペするからバカにされる
自分の言葉で書けばバカにされない
それ分からない奴は大バカ

>>286 補足追加
>https://en.wikipedia.org/wiki/Riemann_integral
>Riemann integral
>Integrability
>A bounded function on a compact interval [a, b] is Riemann integrable if and only if it is continuous almost everywhere (the set of its points of discontinuity has measure zero, in the sense of Lebesgue measure). This is the Lebesgue-Vitali theorem (of characterization of the Riemann integrable functions).

この”A bounded function on a compact interval [a, b]”
「コンパクト区間[ a , b ]上の有界関数」

この有界の条件は、抜かさない方が良いようですね
抜かすと、証明が複雑になる（反例がある？）

>>291-292
漫才師か？ｗ
あんたは、ボケ役なのにｗｗ
必死にツッコミ役やっているｗｗｗ

まあ、”手筋”の意味が分かってないみたいだ

>>293
>”A bounded function on a compact interval [a, b]”
>「コンパクト区間[ a , b ]上の有界関数」
>この有界の条件は、抜かさない方が良いようですね
　あんたやっぱり大学入ったことないだろ？　無知すぎる

>>296
>>この有界の条件は、抜かさない方が良いようですね
>　あんたやっぱり大学入ったことないだろ？　無知すぎる

>>259 より
　ほとんど至るところで連続
⇔ほとんど至るところの点を含むδ以内の区間でその中での関数の値の差がε以内になるようなものがとれ
　δを小さくすればするほどその区間の合計の長さが元の区間の長さに収束する
⇔リーマン可積分
(引用終り)

有界の条件を抜かしたアホは、だれでしょうか？
院試では、書かれたことが全てです
重要ポイントで書かれていないことがあれば、減点ですよ
院試なら、首が飛ぶ
普段から気を付けておかないとね
（というか、プロはこういうところは絶対に抜かさない）

>>297 リンク訂正

>>259-260
　↓
>>259-261

>>298
>有界の条件を抜かしたアホは、だれでしょうか？
　リーマン積分の区間は有限ですが？

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AA%E3%83%BC%E3%83%9E%E3%83%B3%E7%A9%8D%E5%88%86
「リーマン積分は ℝn の有界集合上の関数に対して定義されるが、
　積分範囲にある種の極限を考えることにより、広義リーマン積分が定義される。」

広義リーマン積分は（狭義の）リーマン積分ではないが、日本語読めない？

>>290 メモ
背理法について、下記の塩見浩三先生の説明が分かりやすいね

(参考)
https://www.chart.co.jp/subject/sugaku/suken_tsushin/stusin_backnum.html
数研通信（1号〜50号）　【教授用資料】 数研出版
https://www.chart.co.jp/subject/sugaku/suken_tsushin/03/3-1.pdf
数研通信 3号 数研出版
背理法の定義について（塩見浩三）(愛媛県立西条高等学校)[102KB]
(抜粋)
命題 A→Bを証明するのに
<背理法>
A＆Bの否定→矛盾
<対偶法>
Bの否定→Aの否定

背理法と対偶法とに共通する点は B否定 を仮定とすることであるが,
背理法の方が, B否定とAとを仮定として理論を進めるだけ
思考の自由性は多いといえよう。
(引用終り)

>>300
>>有界の条件を抜かしたアホは、だれでしょうか？
>　リーマン積分の区間は有限ですが？
>広義リーマン積分は（狭義の）リーマン積分ではないが、日本語読めない？

あらら、まるで漫才師のボケ役だね
”有界函数（関数）”が分からんの

>>296 >>この有界の条件は、抜かさない方が良いようですね
あなたも、>>253 「有界関数 f: I → R に対し」と書いたでしょｗ

英wikipedia >>293"A bounded function is Riemann integrable if and only if it is continuous almost everywhere (the set of its points of discontinuity has measure zero, in the sense of Lebesgue measure). "

このbounded functionが、有界関数です
区間は”on a compact interval [a, b]”だね
なお、区間の方では「関数の台」という大事な数学用語があるよ

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%9C%89%E7%95%8C%E5%87%BD%E6%95%B0
有界函数

ある集合 X 上で定義される実数あるいは複素数値の函数 f が有界函数（ゆうかいかんすう、英: bounded function）であるとは、その値からなる集合が有界集合であることを言う。言い換えると、X 内のすべての x に対して
|f(x)| <= M
が成り立つような、x に依らない実数 M が存在することを言う。
しばしば、X 内のすべての x に対して

|f(x)| <= A が成立するとき、その函数は上界 A によって上から抑えられる（bounded above）と言い、そのような A が存在するときその函数は上に有界であるという。それと対照的に、X 内のすべての x に対して
|f(x)| >= B が成立するとき、その函数は下界 B によって下から抑えられる（bounded below）と言い、そのような B が存在するときその函数は下に有界であるという。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%96%A2%E6%95%B0%E3%81%AE%E5%8F%B0
関数の台
函数の台（support）とは、その函数の値が 0 とならない点からなる集合、あるいはそのような集合の閉包のことを言う[1]。この概念は、解析学において特に幅広く用いられている。また、何らかの意味で有界な台を備える函数は、様々な種類の双対に関する理論において主要な役割を担っている。

特異台
特にフーリエ解析の文脈では、超函数の特異台 (singular support) の研究に興味が持たれる。これは直観的には超函数が「その点で滑らかな函数になることができない」ような点全体の成す集合と解釈することができる。

例えば、ヘヴィサイドの階段函数のフーリエ変換は（点 x = 0 を外にすれば）定数の違いを除いて逆数函数 1/x と考えることができる。

層の理論における台
「アレクサンダー-スパニアー・コホモロジー（英語版）」も参照
カルタンの定義した位相空間 X 上の台の族 (family of supports) という抽象概念は層の理論によく馴染む。ポアンカレ双対性を非コンパクト多様体に拡張してやれば、「コンパクト台」の概念はこの双対性の片方から自然に入れることができる。

定理　[0,1] 区間で定義された有界関数 f(x) で次は同値
(1) S = { x | f(x) は x=a で不連続 }の測度は0
(2) ∫01f(x)dx はリーマン可積分
(∵) f(x)が正値のとき示せば十分である。
[0,1]の分割 Δ に対して関数 m(Δ,x), M(Δ,x)を以下で定める
m(Δ,x) = inf( f(t) | ∃k x,t ∈cl(Δ(k)) }
M(Δ,x) = inf( f(t) | ∃k x,t ∈cl(Δ(k)) }
(1)を仮定する。まず
{ ( a,b ) | 0 ≦ b ≦ f(a), a は f(x) の連続点 }
= ∪Δ { ( a,b ) | 0 ≦ b ≦ m(Δ,a), a は f(x) の連続点 }
であり右辺は Lebesgue 可測集合だから f(x) はLebesgue 可測関数である。
さらに ξk ∈ Δ(k) をえらぶとき
∫01m(Δ,x)dx ≦ Σ f(ξk)|Δk| ≦ ∫01M(Δ,x)dx ...(*)
である。|Δ| → 0 のとき f(x) の連続点 x においてm(Δ,x) → f(x)、M(Δ,x) → f(x) であるから(*)の左辺、右辺はDCTにより∫01f(x)dxに収束する。よって f(x) は riemann 可積分である。
(1) を否定する。関数 ρ(x) を
ρ(x) = limsupt→x f(t) - liminft→x f(t)
でさだめる。仮定により正数 a>0 を集合
T = { x | ρ(x)>a }
が μ(T) > 0 を満たすようにとれる。
このとき分割 Δ にたいして
Σ { |Δk| | Δk∩T≠Φ } ≧ μ(T)
であり、 Δk∩T≠Φ である k に対して
M(Δ,x) - m(Δ,x) ≧ a
であるから結局
∫01M(Δ,x)dx - ∫01m(Δ,x)dx ≧ a
である。これが任意の分割Δについて成立するから f(x) はRiemann可測ではない。

>>296
>https://en.wikipedia.org/wiki/Riemann_integral
>Riemann integral
>Integrability

後半の
”We now prove the converse direction using the sets Xε defined above.[9] For every ε, Xε is compact, as it is bounded (by a and b) and closed:”
が、いまいち分からないので、pdfを探すと下記
西谷達雄先生
Lebesque積分 講義録 がヒット

こっちの方がまだ分かる　；ｐ）
以下、下記西谷PDFより抜粋
・P10 "1.3零集合の定義と特徴づけ"が良いね
・P11 ”定義1.3.2ある性質(P)が適当な零集合を除けば成立しているとき，ほとんど至る所(P)が成立するといい，(P)a.e.(almosteverywhere)と略記する．”
・P12 "1.4基本補題"「ここで今後の考え方の基礎となる補題を２つ証明する．これらは非負の階段関数列の単調減少列があったとき，その積分値の零極限の存在と関数列自身の殆ど至る所での零極限の存在の同等性を主張するものである．」
・P13 "1.5 Lebesgueの判定条件 いままでの考察をRiemann積分可能性の判定に応用してみよう．"
　（Darboux和使用）
・P14 "定理1.5.1f(x)がRiemann積分可能であるためにはf(x)=f(x),a.e.となることが必要十分である．"
　"証明：まずf(x)をRiemann積分可能としよう．Darbouxの定理1.1.1と系1.1.1によれば・・略"
・P16 "定理1.5.2 (Lebesgue)f(x)がRiemann積分可能であるための必要十分条件はf(x)の不連続点の集合が零集合となることである．
　証明：最初にf(x)がx=x0で連続であるための必要十分条件は・・略
　さて定理の証明に移る．f(x)をRiemann積分可能とすると，定理1.5.1よりf∼(x)=f(x)=f(x)=f(x)=f∼(x),a.e.従ってf(x)は殆ど至る所連続である．逆にf(x)が殆ど至る所で連続とする．このとき，殆どいたるところf∼(x)=f∼(x).従ってf(x)=f(x),a.e.ゆえに再び定理1.5.1よりf(x)はRiemann積分可能である．(証終)"

中途半端に、Lebesque積分やLebesque測度を使わずに証明しようとしているのかな？ en.wikipediaは
Darboux和（＝Darboux積分）は、使っている

(参考)
http://www4.math.sci.osaka-u.ac.jp/~nishitani/
西谷達雄,Department of Mathematics Osaka University
http://www4.math.sci.osaka-u.ac.jp/~nishitani/Lebesgue.pdf
Lebesque積分 講義録

>>304
ありがとう
なるほど、すぐにはついていけないが (>_<)
これは、プロの仕事かな （＾＾；

>>306
>なるほど、すぐにはついていけないが (>_<)
　さすが　高卒　頭わりいな
　正則行列の条件も知らんくせに、
　他人の発言に「有界関数って言ってねえ」と
　わけもわからずケチつけるサル
　サルに人間の数学が分かるわけねえわ

>>304
>m(Δ,x) = inf( f(t) | ∃k x,t ∈cl(Δ(k)) }
>M(Δ,x) = inf( f(t) | ∃k x,t ∈cl(Δ(k)) }

下はinfじゃなくsupだろ
M(Δ,x) = sup( f(t) | ∃k x,t ∈cl(Δ(k)) }

>>306
>（＾＾；
　高卒コピペザル「シキタカK」の一番ダメなところは
　自分がわかってないことを認めず笑って誤魔化す点
　自分を甘やかしてるうちは大学にも入れんし大学の数学も分からん

上関数と下関数の差がε未満になる範囲の
ジョルダン外測度とジョルダン内測度の差が0になる、
そのときに限りリーマン可積分

「シキタカK」はまずマセマの大学基礎数学
そして線形代数・微分積分を読んで理解してくれ

ここに書き込むのはそれからだ

じゃあな

>>307
>>>304
>>m(Δ,x) = inf( f(t) | ∃k x,t ∈cl(Δ(k)) }
>>M(Δ,x) = inf( f(t) | ∃k x,t ∈cl(Δ(k)) }
>
>下はinfじゃなくsupだろ
>M(Δ,x) = sup( f(t) | ∃k x,t ∈cl(Δ(k)) }

ありがと
さっそく赤ペンか
さすが数学科だなｗ

なんとなく、>>304は>>305の西谷達雄先生の
"1.5 Lebesgueの判定条件”
の略証をしてくれたんだ
という感じかな
使っている手筋は同じ気がする

f(x)がRiemann積分可能であるためにはf(x)=f(x),a.e.となることが必要十分である．

なにこれ？

>>311　
>使っている手筋は同じ気がする
　手筋とかいう囲碁将棋用語　頭わるそう
>>312
>f(x)がRiemann積分可能であるためにはf(x)=f(x),a.e.となることが必要十分である．
>なにこれ？
　素人がわけもわからず漫然コピペした結果ｗ
　左辺はfの下に傍線、右辺はfの上に傍線
　意味はコピペした人に聞いて　まあ答えられないからｗ

これからコピペ君のことは「小保方貼男」って呼ぼう

www.j-cast.com/2014/03/04198300.html?p=all

05年の論文では塩化カリウムを意味する「KCl」という記述が、
14年の理研の論文では「KC1」。
単語の最後が「l」（エル）から「1」（イチ）に変わり、意味のない単語になっている。
また、05年の論文では「トリプシン-エチレンジアミン四酢酸」を表す
「trypsin-ethylenediaminetetraacetic acid（EDTA）」という記述が、
理研の論文ではethylenediaminetetraacetic acidが消えて
「trypsin and EDTA (EDTA)」という記述になっている。
これらの表記ミスをめぐっては、
「コピペをしそこなったのでは」
との指摘も出ている。

>>308
>上関数と下関数の差がε未満になる範囲の
>ジョルダン外測度とジョルダン内測度の差が0になる、
>そのときに限りリーマン可積分

これならわかる。
労を多としたい。

>>315
>>上関数と下関数の差がε未満になる範囲の
>>ジョルダン外測度とジョルダン内測度の差が0になる、
>>そのときに限りリーマン可積分
>これならわかる。
>労を多としたい。

採点ご苦労様です
彼の精一杯でしょうかね

下記ですね。C.ジョルダンが，リーマン積分 (→定積分 ) の考え方をもとにして，ジョルダン測度を考えた
大学学部１年の教養数学であったような(テキストに絵があったか)

藤田博司の本（下記）では、リーマンは「測度という言葉は持っていなかったが（使っていない）、（ジョルダン）測度は分かっていた」みたいに書かれていたと思う

下記 浅野晃先生(関大)の”測度論ダイジェスト”を貼っておきますが、ジョルダン測度では
いまの リーマン積分条件＝不連続部が測度０ をすっきり理解することは難しいとありますね（当然ですが）

(参考)
https://kotobank.jp/word/%E3%82%B8%E3%83%A7%E3%83%AB%E3%83%80%E3%83%B3%E6%B8%AC%E5%BA%A6-80668
コトバンク ジョルダン測度 ブリタニカ国際大百科事典
C.ジョルダンは，リーマン積分 (→定積分 ) の考え方をもとにして，点集合の測度を定義した。ここで測度とは，直線上の点集合の長さ，平面上の点集合の面積，空間内の点集合の体積などを拡張した概念をさし，一般の m 次元空間における点集合の容積とでもいうべきものである。このジョルダンの測度を拡度ということもある。以下2次元の場合について述べる。平面上に有界な点集合 A が与えられているとき，各辺が座標軸に平行で1辺の長さが r の正方形の網 Δ をつくり，A をおおう。正方形の中で，A に含まれてしまうものの面積の総和を SΔ とし，A と少くとも1点を共有するものの面積の総和を S'Δ とすると SΔ＜S'Δ となる。ここで網の目を次第に細かく分割して，正方形の1辺の長さ r を0に収束させたとき，それぞれの極限値を
とすれば，S≦S′ である。このときの S を A のジョルダン内測度，S′ を A のジョルダン外測度という。特に等号が成り立つ場合 S＝S′ をジョルダン測度という。 A について S＝S′ が確定する場合，この A をジョルダン可測という。

(参考)>>239 再録
https://www.tenasaku.com/tenasaku/authorship.html
『「集合と位相」をなぜ学ぶのか――数学の基礎として根づくまでの歴史』
藤田博司 技術評論社 2018
第2章　積分の再定義
2.3　リーマン積分
2.4　積分可能性をめぐる混乱

http://racco.mikeneko.jp/Kougi/
浅野晃の講義（2023年度秋学期の講義もあり）
http://racco.mikeneko.jp/Kougi/2016a/AMA/
2016年度秋学期 応用数学（解析）浅野晃 関西大学総合情報学部
第５部・測度論ダイジェスト
http://racco.mikeneko.jp/Kougi/2016a/AMA/2016a_ama14.pdf
【講義プリント】ルベーグ測度と完全加法性 第１４回
http://racco.mikeneko.jp/Kougi/2016a/AMA/2016a_ama14_slide_ho.pdf
【スライド】ルベーグ測度と完全加法性 第１４回

http://racco.mikeneko.jp/Kougi/2016a/AMA/2016a_ama15.pdf
【講義プリント】ルベーグ積分 第１５回
http://racco.mikeneko.jp/Kougi/2016a/AMA/2016a_ama15_slide_ho.pdf
【スライド】ルベーグ積分 第１５回

>>316
>採点ご苦労様です
>彼の精一杯でしょうかね
　小保方貼男君がなんかいってる

>>316
>浅野晃(関大)の”測度論ダイジェスト”を貼っておきますが、
>ジョルダン測度では リーマン積分条件＝不連続部が測度０ をすっきり理解することは難しい
>とありますね（当然ですが）
http://racco.mikeneko.jp/Kougi/2016a/AMA/2016a_ama14.pdf
【講義プリント】ルベーグ測度と完全加法性 第１４回
http://racco.mikeneko.jp/Kougi/2016a/AMA/2016a_ama14_slide_ho.pdf
【スライド】ルベーグ測度と完全加法性 第１４回

http://racco.mikeneko.jp/Kougi/2016a/AMA/2016a_ama15.pdf
【講義プリント】ルベーグ積分 第１５回
http://racco.mikeneko.jp/Kougi/2016a/AMA/2016a_ama15_slide_ho.pdf
【スライド】ルベーグ積分 第１５回

どこにもそんな文章ありませんね

捏造はいけませんよ　小保方貼男君

小保方貼男君は、関数の連続性の定義もジョルダン測度の定義も
全く知らんし知る気もなくてfの下傍線も上傍線も見ずに漫然コピペする
剽窃家だから リーマン積分条件＝不連続部が測度０ なんて丸っきり分かるわけない

でも有界性にはこだわっていたようだ

でも、fの下傍線と上傍線は気づかなかった・・・と

小保方貼男「センセ、センセ」（ゆっさゆっさ）

ダメですよ、巨○にだまされては

>>321
落ちこぼれさん、ご苦労様です

＞でも、fの下傍線と上傍線は気づかなかった・・・と

・話は逆だよ
　ここ５ｃｈは、通常の数学記号による議論には適さない
　前から言っている通り
　だから、５ｃｈで本格的な数学議論は、無理 ムリ むり ですよｗｗｗ
・例えば、和Σ記号はΣの上と下に数字で和の範囲を示すべきところ
　同様に定積分記号∫ は、上と下に積分範囲を示すべきところ
　ここ５ｃｈでは、それはできないのですｗ
・同様に、fの下傍線と上傍線を記号として表現することは不可
　（２行ないし３行使えば絶対不可ではないが、おれはやらんよｗ）
・で上記の指摘は、>>305 西谷達雄先生(阪大) Lebesque積分 pdfからのコピー
　P14 "定理1.5.1f(x)がRiemann積分可能であるためにはf(x)=f(x),a.e.となることが必要十分である．"
　だね
・これで、「f(x)=f(x),a.e.」で 下傍線と上傍線がコピーできていないって指摘だね
　それは、当然想定内のことです（上記のΣや定積∫と類似だよ）
　だから、原本URLと該当ページ P14 の箇所を見ろってことです

>>320
>でも有界性にはこだわっていたようだ

・そうだよ
　下記のδ関数のようなことを避けるために
・いまの議論の目的としては、１変数実関数f(x) で、閉区間[a,b]で有界
　つまり｜f(x)｜＜M (Mはある正又は0の実数)としておけば十分です
・有界の制限を外すと、無用な下記δ関数のような議論を含むことになる

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%87%E3%82%A3%E3%83%A9%E3%83%83%E3%82%AF%E3%81%AE%E3%83%87%E3%83%AB%E3%82%BF%E9%96%A2%E6%95%B0
ディラックのデルタ関数

ディラックのデルタ関数はデルタ超関数（英: delta distribution）あるいは単にディラックデルタ（英: Dirac's delta）とも呼ばれる。これを最初に定義して量子力学の定式化に用いた物理学者ポール・ディラックに因み、この名称が付いている。デルタ関数は古典的な意味での関数ではないシュワルツ超関数（英: distribution）の最初の例になっている。

ディラックのデルタの「関数」としての性質は、形式的に次のように述べることができる。まず、f(x) として実直線上常に一定の値 1 をとる関数をとり、デルタ関数をデルタ関数自身と f(x) = 1 との積であると見ることにより
∫−∞ +∞ δ(x)dx=1
である。一方、積分値が f の x = 0 での値にしかよらないことから
δ(x)dx=0 (x ≠0)}
でなければならないが、その上で積分値が 0 でない有限の値をとるためには
δ(0)=∞
が満たされなければならない。

>>323 タイポ訂正

δ(x)dx=0 (x ≠0)}
　↓
δ(x)=0 (x ≠0)

>>322
>ここ５ｃｈは、通常の数学記号による議論には適さない
>だから、５ｃｈで本格的な数学議論は、無理 ムリ むり ですよ
　自分の不注意を掲示板のせいにするとはみっともない

>fの下傍線と上傍線を記号として表現することは不可
　誰も見たまま書けとはいってない　区別できるように書けばいい

>指摘は、… pdfからのコピー
>P14 "定理1.5.1f(x)がRiemann積分可能であるためにはf(x)=f(x),a.e.となることが必要十分である．"
>で、「f(x)=f(x),a.e.」で 下傍線と上傍線がコピーできていないって指摘だね
　そう、今言われて初めて気づいたんだろ　ダメだよ、読まずにコピペは

>それは、当然想定内のことです
　分かっていてなにもしないのは犯罪的行為
　分かってなくてなにもしないのは怠慢

　どっちがいいかい？　どっちも馬鹿だけどな
　元祖小保方のKClをKC1とOCR変換し間違ったのをそのまま貼るくらい酷い
　
　コピペも正しくできないド素人なんて数学板に書くなよｗｗｗｗｗｗｗ

>>323 タイポ訂正追加

｜f(x)｜＜M (Mはある正又は0の実数)
　↓
｜f(x)｜＜M (Mはある正の実数)

注）0はいらないね

>>323
こいつ、コピペもろくにできないわ、δ関数とかトンチンカンなこというわ、ほんと数学、初歩からわかってないな

>>325
>>fの下傍線と上傍線を記号として表現することは不可
>　誰も見たまま書けとはいってない　区別できるように書けばいい

・それは、君の変態趣味だね
　君は数学科で落ちこぼれ、アカデミックな数学の議論にあこがれて
　この便所落書き５ｃｈでアカデミックな数学議論をしたいという
　変態趣味を持っているなｗｗｗ
・悪いが、おれはそんな変態趣味はないよ
　別に変態趣味を止はしないが、他人を巻き込むのは
　勘弁なｗｗｗ

>>327
ふふふ
ご苦労様です

君は、”おサル＝サイコパス＊のピエロ（不遇な「一石」”（下記）
まともに相手をするつもりは、ないよ

(参考)
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1705834737/5
純粋・応用数学・数学隣接分野（含むガロア理論）18

おサル＝サイコパス＊のピエロ（不遇な「一石」

(参考)
https://keiji-pro.com/magazine/10/
刑事事件マガジン
公開日：2018.5.10 　更新日：2023.10.13その他
サイコパス（精神病質者）の10の特徴と診断基準｜実はあなたの周りに・・・？

サイコパスとは、「反社会性パーソナリティ障害」という精神病者のこと。

一般人と比べて著しく偏った考え方や行動を取り、対人コミュニケーションに支障をきたすパーソナリティ障害の一種で、サイコパスの主な症状として、感情の一部、特に他者への愛情や思いやりが欠如していることや、自己中心的である、道徳観念・倫理観・恐怖を感じないといったことが挙げられます。

>>328
この問題に限って言えば
どっちがまともなことを言っているかは明らかで
他のみんなも分かっていると思う

>>330
そだね

そもそも頼まれもしないのに
ドヤ顔でコピペした結果がこれ
得意のコピペで自爆って・・・