>>320
>でも有界性にはこだわっていたようだ

・そうだよ
　下記のδ関数のようなことを避けるために
・いまの議論の目的としては、１変数実関数f(x) で、閉区間[a,b]で有界
　つまり｜f(x)｜＜M (Mはある正又は0の実数)としておけば十分です
・有界の制限を外すと、無用な下記δ関数のような議論を含むことになる

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%87%E3%82%A3%E3%83%A9%E3%83%83%E3%82%AF%E3%81%AE%E3%83%87%E3%83%AB%E3%82%BF%E9%96%A2%E6%95%B0
ディラックのデルタ関数

ディラックのデルタ関数はデルタ超関数（英: delta distribution）あるいは単にディラックデルタ（英: Dirac's delta）とも呼ばれる。これを最初に定義して量子力学の定式化に用いた物理学者ポール・ディラックに因み、この名称が付いている。デルタ関数は古典的な意味での関数ではないシュワルツ超関数（英: distribution）の最初の例になっている。

ディラックのデルタの「関数」としての性質は、形式的に次のように述べることができる。まず、f(x) として実直線上常に一定の値 1 をとる関数をとり、デルタ関数をデルタ関数自身と f(x) = 1 との積であると見ることにより
∫−∞ +∞ δ(x)dx=1
である。一方、積分値が f の x = 0 での値にしかよらないことから
δ(x)dx=0 (x ≠0)}
でなければならないが、その上で積分値が 0 でない有限の値をとるためには
δ(0)=∞
が満たされなければならない。