＜メモ＞
ルベーグ積分入門∗会田茂樹 東京大学
演習問題 6.2 リーマン積分可能 条件

https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~aida/lecture/19/Lebesgue-text2.pdf
ルベーグ積分入門∗会田茂樹 ∗2007.11.5版

P5
2リーマン積分2.1平面上の積分ここではリーマン積分の定義を思い出す。記述を簡単にするため、2次元(平面)の場合に述べるが、一般次元でも同じである。

S(f),s(f)については次のDarbouxの定理が基本的である。
定理2.2 略

注2.4 (1)f(x,y)が連続ならば可積分である。実は可積分になるための必要十分条件はf(x,y)の”不連続点の集合の測度ゼロ”ということが知られている。これについては演習問題6.2を参照せよ。

P28
6リーマン積分とルベーグ積分の関係

Ｐ29
演習問題 6.2 上の証明でf(x)=f(x)=f(x)a.e.x∈Iが示されたわけだが、これはf(x)がほとんどすべてのxで連続であることを示している。なぜか？また、逆に関数の不連続点全体の集合のルベーグ測度がゼロならばリーマン積分可能であることもわかる。これを証明してみよ。

https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~aida/lecture/log.html
会田茂樹のホームページ 講義のページ 過去分

chrome-extension://efaidnbmnnnibpcajpcglclefindmkaj/https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~aida/lecture/24/analysisB1.pdf
ルベーグ積分入門前編∗会田茂樹 平成24年
∗後編と前編に分けることにしました.前期の講義でFubiniの定理の紹介まで進みましたが,証明も含めた説明は後期,後編で行います.

https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~aida/lecture/24/analysisB2.pdf
ルベーグ積分入門後編 会田茂樹 平成24年12月13日版∗