>>497 追加燃料投下！

Jordan測度くわしい！

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桂田祐史の講義のサポート・ページ 明大
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解析概論II (2005年度)
　解析概論IIは明治大学数学科の学生を対象とした、 多変数関数の積分、ベクトル解析についての講義科目です。 (多変数関数の微分法については、古い講義のページですが、 「解析概論I」を参考にして下さい。)
講義ノート
『解析概論II 第1部』 (PDF), (DVI), (PS)
『解析概論II 第2部』 (PDF), (DVI), (PS)

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解析概論II第1部(多変数関数の積分)桂田祐史2005年12月6日
序
この文書は明治大学数学科2年生後期の講義科目「解析概論II」の第1部(内容としては多変数関数のRiemann積分を扱う)の講義ノートである。

P16
Lebesgue積分について独習したい人には、志賀[9],新井[1]、授業の参考書としては伊藤[2]、歴史的なところに興味がある人には、もちろんルベーグ[29],それと見過ごされやすそうな3吉田[26]を勧める。
[26]吉田耕作,現代解析入門後篇「測度と積分」,岩波書店(1991).

P21
1.2 Jordan可測集合上の積分

P24
1.3二つの零集合
1.3.1はじめに
そこで「Jordan零集合」と「Lebesgue零集合」という表現を採用することにした。…余談になるが、あるとき解析概論IIで(Lebesgue)零集合を取り上げることを某先生から
非難されたことがある。今一つ真意がはっきりしない物言いだったのだが、Lebesgue測度論(積分論)の概念を密輸入してペダンティックなことをやっている、という意味であると解釈した。確かにLebesgue零集合はLebesgueが定義したもので、(Riemann)可積分条件の定理もLebesgueが得たものであるが、Lebesgue零集合の定義にLebesgue測度は必要ないし、可積分条件の定理もLebesgue積分に関する定理ではなく、あくまでRiemann積分に関する定理である。そして—ここが大事なところだが—この定理は美しい。また一度この定理を得ると大変に見通しがよくなり、その後の議論の歯切れがよくなる。20世紀に多くの微積分の教科書が書かれたわけだが、このLebesgueの定理を紹介していないものが多いのは、もったいないと思う。

P25
1.3.2 Jordan零集合—Riemann積分で無視可能な集合

P28
1.3.3 Lebesgue零集合—Riemann積分の可積分条件の記述(この節の記述は、主にスピヴァック[14]による。)
この節の目的
前節の議論だけでは、可測性、可積分性(積分可能性)のイメージがつかみずらいだろうから、少し補足する。
授業では定理の紹介するが、証明はしない(一応書いておくが)。大意をつかんでもらえれば十分と考えている。
「Lebesgue零集合」という“小さい”集合を定義しておくと、
ΩがJordan可測⇐⇒ Ωの境界がLebesgue零集合である
有界関数f:Ω→Rが積分可能である⇐⇒ fの不連続点全体の集合がLebesgue零集合である
のようにきれいに可測性、可積分性が判定できる、というのがミソである。

つづく