つづき

P21
1.2 Jordan可測集合上の積分
この節のあらすじ
まず前節で定義した積分を用いて、一般の図形(Rnの部分集合)のn次元Jordan *a測度を定義する:
µ(Ω):= ∫A χΩ(x)dx (ただしAはA⊂Ω◦となる閉方体、χΩはΩの特性関数).
すべての図形がJordan測度を持つとは限らない。
Jordan測度を持つ集合のことをJordan可測集合と呼ぶ。
Jordan可測集合Ω上で定義された有界関数f:Ω→Rの積分は次のように定義する(Dirichlet,1839年)。
∫Ω f(x)dx:= ∫A f(x)dx, f(x):= f(x) (x∈Ω), 0 (x∈A＼Ω).
*a Camille Jordan(1838–1922).

図形ΩのジョルダンJordan測度とは、Ωの特性関数(characteristicfunction)χΩの積分である。(ある空間の部分集合の特性関数とは、その部分集合上で1,補集合上で0となる関数のことである。つまり
χΩ(x) def. = 1 (x∈Ω) 0 (x∈Ωc)
で定義される関数χΩである。しばしばΩの定義関数とも呼ばれる。)
以下にあげる二つの定義は、直観的にも納得しやすいものなので、必ず理解してもらいたい。注意事項も多いが、最初は飛ばして、大筋をつかんでから、読み直してもらえればよい

P22
定義1.2.1(Jordan可測集合)ΩをRnの有界集合とする。
Ωがn次元Jordan可測(n-dimensionalJordanmeasurable)とは、積分∫A χΩ(x)dxが存在することと定義する。
ここで
(1)AはΩ¯⊂A◦となる閉方体 *a。
(2)χΩはΩの特性関数。すなわちχΩ(x):= 1 (x∈Ω) 0 (x∈Ω)である。
このときµn(Ω)=µ(Ω):= ∫A χΩ(x)dxを
Ωのn次元Jordan測度(n-dimensionalJordanmeasure)と呼ぶ。
*a 記号の復習:Ω¯はΩの閉包、A◦はAの内部を表す。

注意1.2.3
Rnの有界な部分集合Ωに対して、Ω¯⊂A◦となる閉方体を一つ取るとき、
ΩがJordan可測⇔χΩがAで積分可能⇔U(χΩ,A)=L(χΩ,A).

P23
定義1.2.2(Jordan可測集合上の積分の定義)
略す
(引用終り)
以上