第四節　代数的に解かれる方程式
§11.21　環状方程式

既約方程式f(x)=0の根が
α,α[1]₌θ(α),α[2]₌θ^2(α),…,α[n-1]₌θ^(n-1)(α),(θ^n(α)₌α)　
(※θ(α)はαの有理関数　実は整関数とすることができる)
によって表される場合、此様な方程式を環状方程式と名づける

n次の環状方程式f(x)=0(nは素数でなくても宜しい)を解くには
ε=cos(2π/n)+i*sin(2π/n)
とし、所謂ラグランジュの分解式(*)
(ε,α)=α+ε*α[1]+ε^2α[2]+…+ε^(n-1)α[n-1]
を導き入れる

之に置換
s=(α α[1] α[2] … α[n-1])
を施せば
(ε,α)|s＝ε^(-1)(ε,α)
(ε,α)|s^k＝ε^(-k)(ε,α)
(ε^h,α)|s＝ε^(-h)(ε^h,α)
(ε^h,α)|s^k＝ε^(-hk)(ε^h,α)
となるから
(ε^h,α)^n　(h＝1,2,…,n-1)　及び　(1,α)
はsの作る環状群
C:　1,s,s^2,...,s^(n-1)
に対して不変である　従って何れもK(ε)に含まれる

之をそれぞれ
(1,α)=a,(ε^h,α)^n₌b[h]　(h＝1,2,…,n-1)
とおけば
(ε^h,α)=(n)√(b[h])　(1,α)₌a
からただちに
nα₌Σ[h](ε^h,α)=a+(n)√b[1]+(n)√b[2]+…+(n)√b[n-1]
nα[k]₌Σ[h]ε^(‐hk)(ε^h,α)=a+ε^(-k)*(n)√b[1]+ε^(-2k)*(n)√b[2]+…+ε^(-(n-1)k)*(n)√b[n-1]

よって次の定理が得られる

【定理】
環状方程式は1のn乗根εとK(ε)に属する数のn乗根を求めれば解かれる
すなわち代数的に解かれる方程式である