>>21
>∪(n∈N)R^nは、全ての有限次元空間の合併であり
>その元は可算無限列のうちある項から先が全て0となるもの
>線形空間における基底は　その中の”有限個”の線形結合で任意の元が表せるものをいう
>あくまで有限個であって、無限個の和は認められていない
>（この点、位相線形空間の基底とは異なる）

１）「箱入り無数目」>>1との関連が不明確
　というか、”あくまで有限個であって、無限個の和は認められていない”は、下記の”基底 (線型代数学)”で
　「最後の式の和は必ず有限和であることに注意」と同じことを言っている
２）しかし、同じく”基底 (線型代数学)”の項で、”ヒルベルト空間上の正規直交基底”などが挙っていますよ
　要するに、「箱入り無数目」と”無限個の和は認められていない”との関連についての吟味がないかぎり、無意味な陳述
３）実際、>>14の河東泰之 関数解析では、ヒルベルト空間を扱っています
　https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~yasuyuki/suri0806.pdf

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%9F%BA%E5%BA%95_(%E7%B7%9A%E5%9E%8B%E4%BB%A3%E6%95%B0%E5%AD%A6)
基底 (線型代数学)
定義
全域性
上記の条件を満たす整数nが存在するとき、その線形空間は有限次元であるという。そのようなnが存在しないときは無限次元であるという。無限次元線形空間を扱うには、上記定義を一般化して、基底が無限集合となる場合も認めなければならない。
略
最後の式の和は必ず有限和であることに注意。これは、代数的なベクトル空間の公理だけからは（適当な構造を追加しない限り）極限操作に関する議論が展開できず、無限和に意味を持たせることができないことによるものである。無限和の場合を許した、別な種類の基底の概念が定義される場合については後述。

関連概念（後述の部分）
解析学
無限次元の実または複素線型空間に関する文脈では、本項でいう意味での基底を表すのに、しばしばハメル基底（ゲオルク・ハメル（英語版）に由来[6]）や代数基底という用語が用いられる。（ハメル基底は R の Q-基底を意味することもある。）これは、付加的な構造を備えた無限次元線型空間における別の種類の「基底」の概念との区別のためである。そのような基底の概念で極めて重要なものとしては、ヒルベルト空間上の正規直交基底やノルム線型空間上のシャウダー基底（英語版）およびマルクシェヴィチ基底（英語版）が挙げられる。

これらの基底概念に共通する特徴は、全体空間を生成するのに基底ベクトルの無限線型結合までを許すことである。これにはもちろん、無限和が意味を持つような空間（位相線型空間）を考えることが必要である。位相線型空間は非常に広範なベクトル空間のクラスであり、例えばヒルベルト空間やバナッハ空間あるいはフレシェ空間といったものを含む。