例えば、X_2,X_3,..をそれぞれSに一様に分布するiidな確率変数たちとして、
s∈Sを適当に決めて、
Z := (s, X_2, X_3,...)
という列にたいして代表元r(Z)を取ってきて
X_1 := r(Z)(1)
としたら、X_1,X_2,...は問題の条件である互いに独立をたぶん満たしてて
このときY_1=1の確率は1だから、問題の条件からはYについてあまり強いことは言えないんじゃないかなあ