>>630 補足

・代数方程式のガロア理論をモデルとして、微分ガロア理論というものがある
　微分ガロアでは、微分体D を持つ体の拡大を研究する（下記）
　微分ガロア理論のガロア群は代数群とある
　群の作用について言えば、このガロア群は 当然 拡大された体に作用する
・他に、ソリトン方程式の佐藤幹夫の理論（下記）
　可積分微分方程式に対するガロア理論と見なすことができるという

かように、いろいろなガロア理論が考えられてきたのです
これらの対比として、元の代数方程式のガロア理論における、ガロア群の作用を考えれば
ガロア群が方程式の根に作用して置換を生じるという見方では、全く足りないことは明白だろう
やはり、体の拡大と拡大された体の自己同型を考えるべし。そしてガロア群の作用を考えるべし

しらんけどな ；ｐ）

(参考)
ja.wikipedia.org
微分ガロア理論
微分ガロア理論（びぶんガロアりろん）とは、微分体の拡大を研究する分野である。
代数的ガロア理論が体の拡大を研究するのに対し、微分ガロア理論は微分体（びぶんたい、英：differential field）、つまり微分（びぶん、英：derivation）または微分子（びぶんし、differentiation） D を持つ体の拡大を研究する。
微分ガロア理論の殆どは、代数的ガロア理論と類似している。
両者の構成における大きな違いは、微分ガロア理論のガロア群は代数群であり、代数的ガロア理論ではクルル位相を備えた副有限群である点である。

つづく