「現代数学概説Ⅰに書いてあるから」そうだと
いうのはよくないのでは。

「実は無限集合に作用してるじゃん」というのは
1の不理解があって気づいたコロンブスの卵。

もしかすると「ガロア理論が分かりにくい」と
言われるのは、「なんで根の置換だけから
魔法のように結果が出てくるのだろう」
と思われてるからかも。
実は無限集合への作用を考えており
方程式論的な数式操作も行っている。
ラグランジュ分解式もその一例。