群作用：英語では Group actionという
Cayley's theoremがある。群論を学べばどこにでも書いてある（圏論のYoneda lemmaと関連あり）
任意有限群Gは、置換による対称群Snの部分群に同型である
下記のHistoryにあるように、先に対称群Snが存在し、Cayleyが抽象的な群の定義を考えた
ケーリーの定理は、この 2 つを統合する
証明に、Group action（群作用）を使うのもあり
方程式のガロア理論では、根の置換があり、ここが群論発祥の一丁目一番地
youtube 龍孫江、AKITOの勉強チャンネル 見てね

(参考)
//en.wikipedia.org/wiki/Cayley%27s_theorem
Cayley's theorem
In group theory, Cayley's theorem, named in honour of Arthur Cayley, states that every group G is isomorphic to a subgroup of a symmetric group.[1]
See also
・Yoneda lemma, a generalization of Cayley's theorem in category theory

Alternative setting of proof
An alternative setting uses the language of group actions.
We consider the group G as acting on itself by left multiplication, i.e.
g・x=gx, which has a permutation representation,
say φ :G→ Sym(G).
History
(google訳)
初歩的なように思えますが、当時は現代的な定義は存在せず、ケーリーが現在「群」と呼ばれているものを導入したとき、これが現在「順列群」と呼ばれている既知の群と同等であることがすぐにはわかりませんでした。ケーリーの定理は、この 2 つを統合します。
バーンサイド[7] は定理をジョーダン[8]に帰しているが、 エリック・ヌメラ[9] はそれでもなお「ケイリーの定理」という標準的な名前が実際は適切であると主張している。ケイリーは1854年のオリジナルの論文[10]で 、定理の対応が1対1であることを示したが、それが準同型（つまり埋め込み）であることを明示的に示すことはできなかった。しかしヌメラは、ケイリーがこの結果を当時の数学界に知らせていたため、ジョーダンより16年ほど先行していたと指摘している。
この定理は後に1882年にヴァルター・ダイクによって出版され[11]、バーンサイドの本の初版ではダイクの著作とされている[12]
//en.wikipedia.org/wiki/Group_action
Group action
//ja.wikipedia.org/wiki/%E7%BE%A4%E4%BD%9C%E7%94%A8
群作用

つづく