>>122
>ヤン=ミルズ方程式
>サイバーグ-ウィッテン方程式

ご苦労さまです
１）下記の立川裕二さん、サイバーグ=ウィッテン理論→ネクラソフの分配関数→オコンコフ、中島 らが解いたらしい
　中島は中島啓さん、オコンコフはフィールズ賞 です
２）ヤン=ミルズから、下記 チャーン・サイモンズ理論へ
　数学的起源は、1940年代の陳省身とアンドレ・ヴェイユ（チャーン・ヴェイユ理論）
　そして、1974年、チャーンとジェームズ・シモンズの具体的に構成
　これが、ジョーンズ多項式やウィッテンの仕事（両名がこれでフィールズ賞）

(参考)
https://member.ipmu.jp/yuji.tachikawa/japanese-articles.html
日本語による記事 立川裕二
[pdf] ヤン=ミルズ理論とインスタントン
数学セミナー増刊「ミレニアム賞問題」、2010年7月、6ページ。何かミレニアム賞問題について書けと言われたが、質量ギャップ問題は何も知らないので、自分の知っているインスタントンの話について書いた。
https://member.ipmu.jp/yuji.tachikawa/transp/suusemi2.pdf
ヤン=ミルズ理論とインスタントン 立川裕二 (たちかわゆうじ/プリンストン高等研究所)
5 サイバーグ=ウィッテン理論
5.2 数学の立場から
さて、話を数学との関係に戻しましょう。N =2超対称ヤン=ミルズ理論を一般の四次元多様体上で考えると、ドナルドソン不変量が得られると前節で述べました。
これと、上記の考察を組み合わせると、ドナルドソン不変量は、インスタントンモジュライのかわりに、電磁場とモノポールの結合した系のモジュライを調べても得られるべし、ということになります。
この後者のモジュライ空間は、インスタントンのモジュライ空間よりも格段に簡単な構造を持ちます。これから得られる不変量をサイバーグ=ウィッテン不変量と呼びましょう。
すると、ドナルドソン不変量で得られたような四次元多様体の精妙な構造が、非常に少ない労力で得られることになります。
これが、数学でいうところのサイバーグ=ウィッテン理論です。これによって四次元の幾何学の理解は大きく進歩しました。
1990年代半ばの話です。
ドナルドソン不変量も、サイバーグ=ウィッテン不変量も、数学的に厳密に定義できる量です。
物理でいうところのサイバーグ=ウィッテン理論によれば、この二つは等価です。
しかし、数学的にはこの二つが一致するというのはひどく非自明な主張です。
二つの不変量が双方とも具体的に計算できる多様体に関しては、実際にそれらが一致することは確認できますが、それは場当たり的に過ぎます。
数学的に一般に等価性を示すにはどうすればいいでしょうか？
物理的な立場からも、サイバーグ=ウィッテン理論は素晴らしいながらも少々不満な点があります。
なぜなら、低エネルギー作用は、極の位置を推測し、複素関数論を駆使して決定されたからです。
しかし、前節で述べたように、N = 2 超対称性があれば、無限次元の経路積分の計算は、有限次元のインスタントンモジュライ上の積分に帰着します。
ですから、低エネルギー作用を直接インスタントン積分を用いて書き下すことができるはずです。

つづく