>>222
>　円分方程式がなければモジュラー方程式も出てこない

そんなことはない
下記 斎藤恭司先生 一数学者の青春の夢 にあるように
円の等分は、古代ギリシャの昔にさかのぼる
（集大成がガウスだとしても）

さらに、レムニスケートの等分も ガウスを遡る100年前イタリアのファニャーノの研究がある
ガウスが居なくとも、いずれガウスと同等の円周等分理論は世に出たろうし
レムニスケートの等分も いずれは世に出たと考えるべきだろう

(参考)
https://www.mathsoc.jp/publications/tushin/backnumber/index16-3.html
「数学通信」第16巻（2011年度）第3号
一数学者の青春の夢 斎藤　恭司 ３１
https://mathsoc.jp/publication/tushin/1603/1603saito.pdf
一数学者の青春の夢
斎藤恭司
東京大学数物連携宇宙研究機構
∗この論説は数物連携宇宙研究機構 (IPMU) 発行のIPMU News Vol. 9 に掲載された記事の転載です．

§8 超越関数と周期積分
指数関数exp(z)や三角関数は，ある意味で有理関数に引き続き現れる最初の初等的超越関数と言えます(註6参照)．
その意味を少し説明します．円弧の長さは積分z = ∫ 1〜x (|dx|/√(1−x^2)
で求まります(図2)．
その 積分で定まる対応(写像)x→zの逆写像z→xが三角関数x=cos(z)になっているのです．
別の言い方をすると円(二次曲線)の弧長積分の逆関数として三角関数が求まったというわけです．
高校でも学ぶように三角関数は2πを周期とする周期関数で加法公式を満たしています．そのことから円の弧長の積分を周期が2πの周期積分と呼びます．
また，加法公式から円弧を自然数q等分した点の位置座標は，q次の代数方程式を解くことにより得られることが分かります．

円に代わって三次，四次曲線にしたら弧長積分はどうなるかは自然な問といえます．
残念ながら本稿では全く述べられませんが，楕円関数論やアーベル関数論はそのような素朴な疑問から生まれた(しかし複素変数の理論として高度に発展した)周期積分の理論といって良いでしょう(註5の文献参照)．
レムニスケート曲線(図3参照,ベルヌーイが見つけた)の弧長は積分
∫ dr/√( 1 −r^4)
で与えられます．これが恐らく最初に研究された楕円積分で，ガウスを遡る100年前イタリアのファニャーノにより倍長公式が，その後オイラーにより加法公式が発見されたのです(ヤコビはそれを以て楕円関数論の開始としています)．
その積分の逆写像がガウスの整数環Z+Ziを周期にもつという特別な楕円関数となります．