線形空間は
「元同士の和＋と体の元との積・という２つの演算をもつ代数系」
として定義される（詳細は以下のリンクを見られたし）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%99%E3%82%AF%E3%83%88%E3%83%AB%E7%A9%BA%E9%96%93#%E5%AE%9A%E7%BE%A9

線形空間の元の集まりが線形独立だという性質は
「元の線形結合が零ベクトルになるのは線形結合の係数が全部零になる場合に限る」
と定義される

線形空間の基底は
「線形空間の任意の元を生成する線形独立な元の集まり」
と定義される

線形写像は
「線形空間の代数構造を保存する写像」
として定義される（詳細は以下のリンクを見られたし）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%99%E3%82%AF%E3%83%88%E3%83%AB%E7%A9%BA%E9%96%93#%E7%B7%9A%E5%9E%8B%E5%86%99%E5%83%8F%E3%81%A8%E8%A1%8C%E5%88%97

定理
線形空間Vがｎ個の元からなる基底をもつとする
VからV自身への線形写像Aが、自己同型写像、つまり全単射である条件は
Aによって零ベクトルに写る元の全体が零ベクトルのみの単元集合であるとき、そのときに限る

VからVへの任意の線形写像が自己同型写像になるわけじゃないんだよ