γが無理数であるとする。γは無理数だから、
有理数の稠密性から、或る正の整数mが存在して、
各 i＝1、…、m に対して 0、1、2、…、9 の中の数字 a_i が定まって、
無限個の n≧m＋1 なる整数が存在して
(a_1…a_m)/(10^m)＜γ＜((a_1…a_m)/(10^m))＋(1/10^n)
が成り立つとき、正の整数列 {a_1…a_{mn}} が正の無限大+∞に発散するとする
或る正の整数Mが存在して、正の整数列 {a_1…a_{mn}} について
そのn≧M なる第n項 a_1…a_{mn} からなる部分列 {a_1…a_{mn}} は
上に非有界かつ単調増加な正の整数列である
γの定義から 57/100＜γ＜58/100 だから、
或る 58/100＜a＜1 なる実数aが存在して
各 n≧M なる正の整数nに対して10進表示された小数に対して、
0.a_1…a_{mn}＜0.a_1…a_{mn}a_{mn＋1}…a_{m(n＋1)}＜…≦a≦1
が成り立つ。よって、n→+∞ とすれば 0.a_1…a_{mn}→a である
しかし、0.a_1…a_{mn}＜γ＜(0.a_1…a_{mn})＋(1/10^{mn＋1}) だから、
n→+∞ のとき 0.a_1…a_{mn}→γ である。これは、57/100＜γ＜58/100＜a≦1
に反し、矛盾を得る。故に、背理法により、正の整数列 {a_1…a_{mn}} は
正の無限大+∞に発散し得ない。よって、正の整数列 {a_1…a_{mn}} は上に有界な
整数列であって、整数列 {a_1…a_{mn}} に対して正の整数の最大値Nが存在して、
任意の正の整数nに対して a_1…a_{mn}≦N つまり、0.a_1…a_{mn}≦N/(10^{mn})
である。Nは固定された正の整数だから、n→+∞ とすれば 0.a_1…a_{mn}→0 である
これは 57/100＜γ＜58/100 に反し矛盾を得る
だから、背理法により、γを無理数として、或る正の整数mが存在して、
各 i＝1、…、m に対して 0、1、2、…、9 の中の数字 a_i が定まって、
無限個の n≧m＋1 なる整数が存在して
(a_1…a_m)/(10^m)＜γ＜((a_1…a_m)/(10^m))＋(1/10^n)
が成り立つとき、正の整数列 {a_1…a_{mn}} が正の無限大+∞に
発散すると仮定すると矛盾が生じる