同相写像によって有界体積確定集合が有界体積確定集合にうつることと、行列式の絶対値|det g|が体積の拡大率を表すということの説明です。

定義関数χA(x)=1または0
上積分v(A)=inf S(χ)を外体積
下積分v(A)=sup s(χ)を内体積

行列の基本変形の説明もあって線型代数がよく分かっていない人でもここは読めますね。
アフィン変換における体積拡大率について
平行移動は体積変化は無いですね
g: 体積0の集合→体積0の集合
合同変換は平行移動、回転移動と折り返しで体積変化なしです