曲線、C1級同相写像、
向きの付いたC1級曲線は分かりやすいですね。区分的にC1級でよいと。

Iが閉区間でない場合も閉区間における端点と同じ扱いでよいのですね。
SpC、
同じ向きの曲線はC(同じもの)、逆向きの曲線を-Cで表す。

線積分 ∫F(x(t))x'(t)dt
質量、速度、運動方程式、保存力場は物理の言葉ですね。
閉曲線の時、環流量、循環と言う

線積分とは曲線に沿った積分です。
一次元チェインの全体、これは可換群になるのですね。
1+2-(2+3)+(2+3+4)=1+2+4