二つのグラフ　y=1/2 t^2 と y= a(t-1/2)　の交点の問題。
tは、t=sinθ,０≦θ≦２π　(０≦θ＜２πの間違い？)　となっているので、定義域は
-1≦t≦1　です。
すると放物線は、(-1,1/2)から、(1,1/2)までしかありませんｊ。
一方直線の方は、(1/2,0)を通り、傾きaの直線です。

放物線の左端(-1,1/2)と固定点(1/2,0)を通る時、直線の傾きが-1/3
放物線の右端(1,1/2)と固定点(1/2,0)を通る時、直線の傾きが1
放物線と直線が接するのは、原点か、(1,1/2)で接する時で、その時の傾きは0、1です。
これらの値が現れるのは、当然の流れです。

それからy=sinθ,(０≦θ＜２π)　とy=c(定数)は、
-1<c<1で2点、c=±1で1点で、|c|>1では0点交わります。
(もし、θの範囲が　０≦θ≦２π　であったら、c=0の時は、3点)
考えている範囲では、通常二点で交わるけど、t=±1の時だけは一点になります。

これを分離するという意味でも、端点で交わる場合は別扱いする必要はあります。

a=-1/3,0,1を境に考えるのは、極めて自然です。