レムニスケートは直交座標で陰関数表示できる
(x^2+y^2)^2-2*(x^2-y^2)=0

これを使ってMonteCarlo法で求めた重心の座標。
> g=colSums(ans)/count ; g
[1] 0.7849776 0.2042863


おまけ　R言語でのコードのサラダ
N=200
x=seq(0,sqrt(2),le=N)
y=seq(0,0.5,le=N)
f=\(x,y) (x^2+y^2)^2-2*(x^2-y^2)
f=Vectorize(f)
ans=NULL
count=0
for(i in x){
for(j in y){
if(f(i,j)<=0){
pt(c(i,j),pch=16,col=2)
count=count+1
ans=rbind(ans,c(i,j))
}
}
}
colSums(ans)/count