n人でジャンケンをして、勝者一人が決定するまでに要するジャンケンの
回数（あいこも一回とカウント）の期待値をfnとすると、次の式が成立

fn = 1 + p1*f1 + p2*f2 + p3*f3 + p4*f4 + ... + p_{n-1}*f_{n-1} + (1-p~)*fn

ここで、　pkはk人が勝ち抜けする確率。　p~はp1+p2+p3+...+p_{n-1}。つまり、(1-p~)はあいこの確率

整理すると、
fn = (1/p~)(1 + p1*f1 + p2*f2 + p3*f3 + p4*f4 + ... + p_{n-1}*f_{n-1})

f1=0,pk=3*C[n,k]/3^n=C[n,k]/3^(n-1)を使うと、

f[n_]:=f[n]=If[n==1,0,(1/Sum[Binomial[n,k]/3^(n-1),{k,1,n-1}])*(1+Sum[Binomial[n,k]/3^(n-1) f[k],{k,1,n-1}])]

というが作れる。

f[11]=52638199503/1504831636