大学学部レベル質問スレ 24単位目

大学で習う数学に関する質問を扱うスレ

・質問する前に教科書や参考書を読むなりググるなりして
・質問は正確にすること、教科書で定義を確かめること
・高校生以下の質問はそれぞれのスレへ
・自作問題は禁止
・ただの計算は
http://wolframalpha.com
・数式の表記法は
http://mathmathmath.dotera.net
・質問のマルチポストは非推奨
・煽り、荒らしはスルー

※前スレ
大学学部レベル質問スレ 23単位目
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1693982722/
大学学部レベル質問スレ 22単位目
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1683623006/
大学学部レベル質問スレ 21単位目
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1675998924/
大学学部レベル質問スレ 20単位目
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1669086920/
大学学部レベル質問スレ 19単位目
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1659623368/

>>99
逆元の所は荒いな

任意のxに対して
x＋x'＝0 となるx'が存在してそれをxの逆元といい−xで表す

だな

おまベクトル空間の定義の例は？>>83

線型空間、ベクトル空間の公理
x, y, z∈V、a, b∈Kとする。
(1) 和に関して
・(x+y)+z=x+(y+z) 結合律
・x+y=y+x 交換律
・0+x=x 単位元0

(2) スカラー倍￮に関して
(￮は書かない)
・a￮(x+y)=a￮x+b￮y 分配律
・(a+b)￮x=a￮x+b￮x 分配律
・(ab)￮x=a(b￮x) 結合律
・1￮x=x 単位元1
・0￮x=0

(1)(2)を満たす集合VをK上の線型空間という

例だよ、具体例、分かるか？

>>104
これは駄目だ。(1)に「逆元の存在」が仮定されていない。
これだけでは「逆元を持たない元の存在」を否定できない。すなわち通常の加法を表すことが出来ない。(1)はVが加法群であることの要請。

>>106
これでだめなところある？
逆元は存在するように見えるけど

>>106
(-1)xがxの逆元になるから問題ない
ここで1x=xがきいてくる

>>106
逆元の存在の代わりに・0￮x=0 がある
これと・1￮x=x で逆元が存在する

e^π-π が整数値に漸近するのはなぜでしょうか？

>>86
結局W={u-1u|u∈V}とすればWがアーベル群Vの部分群になってて、商アーベル群V/W上にKが通常に作用する
って感じかな？

>>111
なるほー

>>110
漸近しない

>>110
https://en.m.wikipedia.org/wiki/Almost_integer
にもあるけどテータ関数の公式Σ(8πk^2-2)e^(-πk^2)=1からe^π〜8π-2
πの連分数近似22/7から7π〜22
これらを組み合わせるというのがある
ただ、二つの近似の誤差がうまく打ち消してさらに整数性の精度上がってるからこれが最良の説明かは微妙

>>114
なるほど。ありがとうございます。
不思議な式ですね。

自然数n≧2に対し
　∫[1/n,1] (sin(0.5pi*x))^(1/n) dx ≧ (1-1/n)*(1/2)^(1/n)
を示せますか

e^π≒23.1406926328
下らん

nを正の奇数としたとき、
2がQ(\zeta_n)で完全分解することはあるのでしょうか。
\zeta_nは1の原始n乗根を表すとします。
どうぞよろしくお願いします。

355/133≒3.14159292035　←　good
22/7≒3.14285714286

定数だろｗ
>e^π-π が整数値に漸近する

具体例も考えずに俺様の定義ｗ

>>118
無いよ

ありがとうございます。

等と意味不明の供述をしており

>>124
またお前か

>>111
R×RへのRの作用を
a(x,y)=(ax,0)と定義すればいいかな

>>106 は恥ずかしいな

>>71は恥ずかしいな

ありがとうございます

実数の連続性について詳しく書いてる解析の入門書はやっぱり杉浦本ですかね？
高木本はアルキメデスの原理の扱いが怪しいらしいですが

>>130
書評は別スレでやってくんないかなあ

過疎スレなんだから細かい事は言わないの
スレ警察かよ

>>132
やだよ
別　に
行けよ

数学の本スレがありますよ？

>>130
数学の本 第101巻
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1726216883/

>>130
田島一郎の解析入門
が丁寧

無理数をirrational numberて
名称変更できないのかな
日本語で「無理」数とか
英語でも「非理性的な」数

有理数rational numberの方から先に
名称変更したほうがいいかな
元々は「比の値」ratio valueなんだから
ratio number / irratio number
はどうだろ
日本語だと「有比数」「無比数」とか

ランダウ記号で O(1/N), O(1/log(N)), o(1/N), ...
で表される項はどれもN→+∞で 0 に近づくわけですが、特にそのオーダーは気にしない単に0 に近づくのを表すための記法ってありませんかね?
ちょっとした計算メモを書き散らすときに使いたいです

o(1)

あ...なるほど、ありがとうございます

質問にもならないような雑な質問で失礼します
四元数と固有値分解、特異値分解って何か関係あったりします？
特異値分解で多次元データを2次元平面上に無理矢理落とし込んだとき
式の形も、平面上の円形のデータも、なんとなく似てるなぁと、、、
意味不明な雑談ですな

意味不明

>>141
似てるという式の形を

ここでの質問が適当かどうか分かりませんが宜しくお願いします

例えばリーマン予想とかの未解決問題についてですがZFCの範疇では真偽を決定出来ない可能性って有り得るんですかね？
素人考えだとゲーテルの不完全性定理はそう主張しているように思えます

それ大学学部レベルの質問か？

>>145
そじゃね？

基礎論さんって学部でそんなに難しそうなことやってるんだ

>>144
アリエール

>>146
ならお前が答えてやれよ

m > n
m次元ベクトル空間Vからn次元ベクトル空間V'への線形写像f: V → V'が全射とする
このとき、適当に基底を取れば、fの表現行列の右上のn×n行列をrank nにできますか？

a = (a1, ..., an)∈R^n or C^n
代数方程式

fa(x) = x^n + a1 x^(n-1) + ... + an = 0

の解xをひとつ取り、aを動かすと、十分小さな近傍でxはaの連続関数ですが、微分可能性 or 正則性も言えるのでしょうか？

f: R^(n + 1) → Rが、∂f/∂a1 = ... = ∂f/an = ∂f/∂x = 0でなければ、陰関数定理より、f(a1, ..., an, x) = 0となる微分可能/正則関数x = x(a1, ..., an)が存在する。

>>149
アリエール

>>150
できる

別に全射でなくてもいい

>>155
全射は必要条件ではないかもしれんが、なんかはないとできんやろ

普通に必要条件じゃねーか

>>156.157
>>150
>fの表現行列の右上のn×n行列
もともとn×mなのに右「上」と書いているわけ
そこから敷衍してrank<nとしただけよ

>>158
右上はまあ変だが後半何言ってるのかわからん

>>159
k=rankAならAの行と列kずつ選んでk次正方小行列で正則なものを取れる

早いのが取柄

>>116 の不等式よろしくそねがいします。

うちのセツコが…

>>160
それ質問と関係なくね？

>>164
はぁ
質問はk=nの場合ね

Vをk上のn次元ベクトル空間。
(e1, ..., en)をVの基底。
V*をVの双対空間。

B: V×V → kを非退化双線型形式。
v∈Vに対して、B(v)(w) = B(v, w)によって、V～V* (v → B(v))を定める。

V*の(e1, ..., en)に対する双対基底を、この同型によってVの元で表す方法を知りたいです。

>>165
余計意味がわからん
誰か助けて

正確に言うと、ここが何言ってるのか分からんから、それ以降何の話をしてるのかさっぱり分からん

＞そこから敷衍してrank<nとしただけよ

>>166
B(ei)(ej)=B(ei,ej)
B(ei)=ΣB(ei,ej)ej*

x = ∑ xj ej
v = ∑ vi ei
A = (B(ei, ej))

とすれば、（添字jは横ベクトル、iは縦ベクトルとして）

B(x, v) = (xj)A(vi)

だから、n個の連立方程式

(xj)A(δik) = (δik) (k=1, ..., n)

を解けばいい

>>168
全射ではないより一般の話にしたってことよ
「f:V→V'のrank=kのとき基底を適当に選び表現行列の右上のk×k行列を正則にせよ」

>>166
(B(ei, ej))^(-1) (ei)

>>171
やっと分かったわ

RHS ≧ ∫[1/n,1] (sin(0.5pi*x))^(1/n) dx
. ≧ ∫[1/n,1] (x)^(1/n) dx
. ≧ ∫[1/n,1] x^(1/n) dx
. ≧ (n/(n+1))(1 - (1/n)^((n+1)/n))
. ≧ 1-1/n (if n≧5)
LHS ≦ 1 - (1 + log(2)))/n + (log(2)^2+log(4))/(2n^2)
RHS ≧ LHS if log(2)/n≧(log(2)^2+log(4))/(2n^2) iff n≧1/2 (2 + log(2))

D[ 1/(1+t)(1-t^(1+1/t)) ,{t,2}] from 0 to 1/4
https://ja.wolframalpha.com/input?i=D%5B+1%2F%281%2Bt%29%281-t%5E%281%2B1%2Ft%29%29+%2C%7Bt%2C2%7D%5D+from+0+to+1%2F4
D[(1-t)*(1/2)^(t),{t,2}]
https://ja.wolframalpha.com/input?i=D%5B%281-t%29*%281%2F2%29%5E%28t%29%2C%7Bt%2C2%7D%5D
log(2)/n≧(log(2)^2+log(4))/(2n^2)
https://ja.wolframalpha.com/input?i=log%282%29%2Fn%E2%89%A7%28log%282%29%5E2%2Blog%284%29%29%2F%282n%5E2%29

{ integral_(1/2)^1 sqrt(sin(0.5 π x))dx, (1 - 1/2) sqrt(1/2)} = {0.473838, 1/(2 sqrt(2))}≈{0.473838, 0.353553}
https://ja.wolframalpha.com/input?i=%7BIntegrate%5B%28Sin%280.5*Pi*x%29%29%5E%281%2F2%29+%2C%7Bx%2C1%2F2%2C1%7D%5D%2C%281-1%2F2%29*%281%2F2%29%5E%281%2F2%29%7D
{ integral_(1/3)^1 sin(0.5 π x)^(1/3)dx, (1 - 1/3) (1/2)^(1/3)} = {0.623232, 2^(2/3)/3}≈{0.623232, 0.529134}
https://ja.wolframalpha.com/input?i=%7BIntegrate%5B%28Sin%280.5*Pi*x%29%29%5E%281%2F3%29+%2C%7Bx%2C1%2F3%2C1%7D%5D%2C%281-1%2F3%29*%281%2F2%29%5E%281%2F3%29%7D
{ integral_(1/4)^1 sin(0.5 π x)^(1/4)dx, (1 - 1/4) (1/2)^(1/4)} = {0.701476, 3/(4 2^(1/4))}≈{0.701476, 0.630672}
https://ja.wolframalpha.com/input?i=%7BIntegrate%5B%28Sin%280.5*Pi*x%29%29%5E%281%2F4%29+%2C%7Bx%2C1%2F4%2C1%7D%5D%2C%281-1%2F4%29*%281%2F2%29%5E%281%2F4%29%7D

　この本について、黒田紘敏さんという方が、ネットで公開している微積分のPDFファイルにおいて

「2変数関数の極限の部分の内容に重大な誤りを含むので注意してください」

と指摘しているのですが、どこが重大な誤りなのか教えてください。
　以下の画像は私の持っているものは旧版のものですが、おそらく内容は変わっていないと思います。
https://imepic.jp/20241010/270520

書籍名を忘れました。
寺田文行・坂田ひろし 新版演習微分積分

　2変数関数の極限の部分の内容に重大な誤りがありますという指摘です。

著者に聞け

有り難うございました！

tps://i.imgur.com/Mf5b76E.jpeg
集合と位相　鎌田正良著の画像ですが、定理3.3のΦが教科書の形に書ける理由がわかりません　Map(X×Y, Z)の元はf(x,y)の形に、Map(X,Map(Y,X))の元はf(x)の形になるので、Φは
Φ(f(x,y))=g(x)みたいな形にならないのですか

>>180
>Map(X,Map(Y,X))の元はf(x)の形になるので
なんで？

ああ
Map(X,-)の元をfではなくf(x)と誤解してるのでは？

f⊂(X×Y)×Z
Φ(f)⊂X×(Y×Z)
てだけ

>>182
その2つって別物なんですね…勉強します
ありがとうございます

>>183
今はその意味がわからないですが、回答ありがとうございます

>>184
>その2つ
とは(X×Y)×ZとX×(Y×Z)のことね？
通常の定義では異なるものとなるが
標準的な全単射があるから同一視されることも
fとΦ(f)はその全単射で対応する

雑な質問だけど
自分だったらリッチフローをちょっと系をいじって新しい操作付け加えて特異点を除去したら幾何化予想解決出来たよーって論文書いたら
「じゃあフィールズ賞と懸賞金やるよ」
と言われたら「俺じゃなくてリッチフローを思いついたハミルトンの貢献が本質的だバーカ」って言って辞退する？

ペレルマン自身の認識では自分は特異点を除去しただけで大した事はやってないで間違いないだろうしあの証明の仕方なら俺でも辞退しそうだけど

荒らしは楽しいか

141,144

２変数関数で連続かつ偏微分可能であるが全微分可能でない例はありますか？
もしあれば教えて下さい

>>190
接平面を持たないがx,yによる偏微分係数は0になるような例を作ればいいxy/(x^2+y^2)はダメかでもこんな感じなやつ

>>186
いえ　f(x)とfをきちんと区別しないで考えてたので、理解できないでいました
Φ(f)∈Map(X,Map(Y,Z))ということがわかったら、わかりました　ありがとうございました

>>176
黒田先生の資料p.399の内容が該当する可能性がある。
『実際，解析演習（東京大学出版会）など有名な本でも極座標変換に起因する誤答が見受けられる．例えば，既に挙げた例題 2.11 がまさにそのようなものである．これを極座標で考えると，収束して極限値 0 と間違えやすい．
そのためかいくつかの参考書や web 上のプリントにおいては，2 変数関数の極限を常に極座標変換を用いて計算しているのに，上の例題だけ急に極座標変換を用いない解答にシフトしている．常に適用できるわけではないうえに誤解を生みやすい解法を，いかにも便利で万能なもののように紹介するのは個人的にはどうかと思う．』

解析演習持ってないからその例題2.11がどういうものかわからんけど、単なる極限の計算ミスじゃないの？
極座標変換での判定自体は(その極限が計算できれば)いつでも使えるはず

ツイッターで見つけたやつだけど、例えばこれだとr→0でsinθ→0となるような近づけ方を考えたら0/0の不定形になって、画像のように極限0とは言えない
https://i.imgur.com/kVuvCBE.jpeg

>>193
なんだか背理法否定オッサンと同類の匂いがする

訂正
よく読んだらそれほどトンデモな話ではなかった
例題2.11 は俺も「はい、0に収束！」で終わりにしてただろう

おいす。

ｎ個のλ項M1,…MnからMiを抽出するλ項Π_i^nが実際にMiを抽出する計算過程を学びたいんだが、どこで学べる?

だめだこりゃ

有界な線型写像T:V→V(Vは計量線型空間)の内積Tu・uの実部が常に0以上のとき、KerT、とImTの直交補空間、って等しくなりますか？

自分で考えた問題ですがあってますかね？

【問題】
x≠0 かつ ｙ≠0 のとき
f(x,y)＝x^2 y^2 sin(1/x) sin(1/y)

ｘ＝0 または y＝0 のとき
f(x,y)＝0

とするとき、この関数は (0,0) で全微分可能であるが、C^1 級ではない

>>200
オッケー