大学学部レベル質問スレ 24単位目

大学で習う数学に関する質問を扱うスレ

・質問する前に教科書や参考書を読むなりググるなりして
・質問は正確にすること、教科書で定義を確かめること
・高校生以下の質問はそれぞれのスレへ
・自作問題は禁止
・ただの計算は
http://wolframalpha.com
・数式の表記法は
http://mathmathmath.dotera.net
・質問のマルチポストは非推奨
・煽り、荒らしはスルー

※前スレ
大学学部レベル質問スレ 23単位目
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1693982722/
大学学部レベル質問スレ 22単位目
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1683623006/
大学学部レベル質問スレ 21単位目
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1675998924/
大学学部レベル質問スレ 20単位目
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1669086920/
大学学部レベル質問スレ 19単位目
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1659623368/

基礎論さんって学部でそんなに難しそうなことやってるんだ

>>144
アリエール

>>146
ならお前が答えてやれよ

m > n
m次元ベクトル空間Vからn次元ベクトル空間V'への線形写像f: V → V'が全射とする
このとき、適当に基底を取れば、fの表現行列の右上のn×n行列をrank nにできますか？

a = (a1, ..., an)∈R^n or C^n
代数方程式

fa(x) = x^n + a1 x^(n-1) + ... + an = 0

の解xをひとつ取り、aを動かすと、十分小さな近傍でxはaの連続関数ですが、微分可能性 or 正則性も言えるのでしょうか？

f: R^(n + 1) → Rが、∂f/∂a1 = ... = ∂f/an = ∂f/∂x = 0でなければ、陰関数定理より、f(a1, ..., an, x) = 0となる微分可能/正則関数x = x(a1, ..., an)が存在する。

>>149
アリエール

>>150
できる

別に全射でなくてもいい

>>155
全射は必要条件ではないかもしれんが、なんかはないとできんやろ

普通に必要条件じゃねーか

>>156.157
>>150
>fの表現行列の右上のn×n行列
もともとn×mなのに右「上」と書いているわけ
そこから敷衍してrank<nとしただけよ

>>158
右上はまあ変だが後半何言ってるのかわからん

>>159
k=rankAならAの行と列kずつ選んでk次正方小行列で正則なものを取れる

早いのが取柄

>>116 の不等式よろしくそねがいします。

うちのセツコが…

>>160
それ質問と関係なくね？

>>164
はぁ
質問はk=nの場合ね

Vをk上のn次元ベクトル空間。
(e1, ..., en)をVの基底。
V*をVの双対空間。

B: V×V → kを非退化双線型形式。
v∈Vに対して、B(v)(w) = B(v, w)によって、V～V* (v → B(v))を定める。

V*の(e1, ..., en)に対する双対基底を、この同型によってVの元で表す方法を知りたいです。

>>165
余計意味がわからん
誰か助けて

正確に言うと、ここが何言ってるのか分からんから、それ以降何の話をしてるのかさっぱり分からん

＞そこから敷衍してrank<nとしただけよ

>>166
B(ei)(ej)=B(ei,ej)
B(ei)=ΣB(ei,ej)ej*

x = ∑ xj ej
v = ∑ vi ei
A = (B(ei, ej))

とすれば、（添字jは横ベクトル、iは縦ベクトルとして）

B(x, v) = (xj)A(vi)

だから、n個の連立方程式

(xj)A(δik) = (δik) (k=1, ..., n)

を解けばいい

>>168
全射ではないより一般の話にしたってことよ
「f:V→V'のrank=kのとき基底を適当に選び表現行列の右上のk×k行列を正則にせよ」

>>166
(B(ei, ej))^(-1) (ei)

>>171
やっと分かったわ

RHS ≧ ∫[1/n,1] (sin(0.5pi*x))^(1/n) dx
. ≧ ∫[1/n,1] (x)^(1/n) dx
. ≧ ∫[1/n,1] x^(1/n) dx
. ≧ (n/(n+1))(1 - (1/n)^((n+1)/n))
. ≧ 1-1/n (if n≧5)
LHS ≦ 1 - (1 + log(2)))/n + (log(2)^2+log(4))/(2n^2)
RHS ≧ LHS if log(2)/n≧(log(2)^2+log(4))/(2n^2) iff n≧1/2 (2 + log(2))

D[ 1/(1+t)(1-t^(1+1/t)) ,{t,2}] from 0 to 1/4
https://ja.wolframalpha.com/input?i=D%5B+1%2F%281%2Bt%29%281-t%5E%281%2B1%2Ft%29%29+%2C%7Bt%2C2%7D%5D+from+0+to+1%2F4
D[(1-t)*(1/2)^(t),{t,2}]
https://ja.wolframalpha.com/input?i=D%5B%281-t%29*%281%2F2%29%5E%28t%29%2C%7Bt%2C2%7D%5D
log(2)/n≧(log(2)^2+log(4))/(2n^2)
https://ja.wolframalpha.com/input?i=log%282%29%2Fn%E2%89%A7%28log%282%29%5E2%2Blog%284%29%29%2F%282n%5E2%29

{ integral_(1/2)^1 sqrt(sin(0.5 π x))dx, (1 - 1/2) sqrt(1/2)} = {0.473838, 1/(2 sqrt(2))}≈{0.473838, 0.353553}
https://ja.wolframalpha.com/input?i=%7BIntegrate%5B%28Sin%280.5*Pi*x%29%29%5E%281%2F2%29+%2C%7Bx%2C1%2F2%2C1%7D%5D%2C%281-1%2F2%29*%281%2F2%29%5E%281%2F2%29%7D
{ integral_(1/3)^1 sin(0.5 π x)^(1/3)dx, (1 - 1/3) (1/2)^(1/3)} = {0.623232, 2^(2/3)/3}≈{0.623232, 0.529134}
https://ja.wolframalpha.com/input?i=%7BIntegrate%5B%28Sin%280.5*Pi*x%29%29%5E%281%2F3%29+%2C%7Bx%2C1%2F3%2C1%7D%5D%2C%281-1%2F3%29*%281%2F2%29%5E%281%2F3%29%7D
{ integral_(1/4)^1 sin(0.5 π x)^(1/4)dx, (1 - 1/4) (1/2)^(1/4)} = {0.701476, 3/(4 2^(1/4))}≈{0.701476, 0.630672}
https://ja.wolframalpha.com/input?i=%7BIntegrate%5B%28Sin%280.5*Pi*x%29%29%5E%281%2F4%29+%2C%7Bx%2C1%2F4%2C1%7D%5D%2C%281-1%2F4%29*%281%2F2%29%5E%281%2F4%29%7D

　この本について、黒田紘敏さんという方が、ネットで公開している微積分のPDFファイルにおいて

「2変数関数の極限の部分の内容に重大な誤りを含むので注意してください」

と指摘しているのですが、どこが重大な誤りなのか教えてください。
　以下の画像は私の持っているものは旧版のものですが、おそらく内容は変わっていないと思います。
https://imepic.jp/20241010/270520

書籍名を忘れました。
寺田文行・坂田ひろし 新版演習微分積分

　2変数関数の極限の部分の内容に重大な誤りがありますという指摘です。

著者に聞け

有り難うございました！

tps://i.imgur.com/Mf5b76E.jpeg
集合と位相　鎌田正良著の画像ですが、定理3.3のΦが教科書の形に書ける理由がわかりません　Map(X×Y, Z)の元はf(x,y)の形に、Map(X,Map(Y,X))の元はf(x)の形になるので、Φは
Φ(f(x,y))=g(x)みたいな形にならないのですか

>>180
>Map(X,Map(Y,X))の元はf(x)の形になるので
なんで？

ああ
Map(X,-)の元をfではなくf(x)と誤解してるのでは？

f⊂(X×Y)×Z
Φ(f)⊂X×(Y×Z)
てだけ

>>182
その2つって別物なんですね…勉強します
ありがとうございます

>>183
今はその意味がわからないですが、回答ありがとうございます

>>184
>その2つ
とは(X×Y)×ZとX×(Y×Z)のことね？
通常の定義では異なるものとなるが
標準的な全単射があるから同一視されることも
fとΦ(f)はその全単射で対応する

雑な質問だけど
自分だったらリッチフローをちょっと系をいじって新しい操作付け加えて特異点を除去したら幾何化予想解決出来たよーって論文書いたら
「じゃあフィールズ賞と懸賞金やるよ」
と言われたら「俺じゃなくてリッチフローを思いついたハミルトンの貢献が本質的だバーカ」って言って辞退する？

ペレルマン自身の認識では自分は特異点を除去しただけで大した事はやってないで間違いないだろうしあの証明の仕方なら俺でも辞退しそうだけど

荒らしは楽しいか

141,144

２変数関数で連続かつ偏微分可能であるが全微分可能でない例はありますか？
もしあれば教えて下さい

>>190
接平面を持たないがx,yによる偏微分係数は0になるような例を作ればいいxy/(x^2+y^2)はダメかでもこんな感じなやつ

>>186
いえ　f(x)とfをきちんと区別しないで考えてたので、理解できないでいました
Φ(f)∈Map(X,Map(Y,Z))ということがわかったら、わかりました　ありがとうございました

>>176
黒田先生の資料p.399の内容が該当する可能性がある。
『実際，解析演習（東京大学出版会）など有名な本でも極座標変換に起因する誤答が見受けられる．例えば，既に挙げた例題 2.11 がまさにそのようなものである．これを極座標で考えると，収束して極限値 0 と間違えやすい．
そのためかいくつかの参考書や web 上のプリントにおいては，2 変数関数の極限を常に極座標変換を用いて計算しているのに，上の例題だけ急に極座標変換を用いない解答にシフトしている．常に適用できるわけではないうえに誤解を生みやすい解法を，いかにも便利で万能なもののように紹介するのは個人的にはどうかと思う．』

解析演習持ってないからその例題2.11がどういうものかわからんけど、単なる極限の計算ミスじゃないの？
極座標変換での判定自体は(その極限が計算できれば)いつでも使えるはず

ツイッターで見つけたやつだけど、例えばこれだとr→0でsinθ→0となるような近づけ方を考えたら0/0の不定形になって、画像のように極限0とは言えない
https://i.imgur.com/kVuvCBE.jpeg

>>193
なんだか背理法否定オッサンと同類の匂いがする

訂正
よく読んだらそれほどトンデモな話ではなかった
例題2.11 は俺も「はい、0に収束！」で終わりにしてただろう

おいす。

ｎ個のλ項M1,…MnからMiを抽出するλ項Π_i^nが実際にMiを抽出する計算過程を学びたいんだが、どこで学べる?

だめだこりゃ

有界な線型写像T:V→V(Vは計量線型空間)の内積Tu・uの実部が常に0以上のとき、KerT、とImTの直交補空間、って等しくなりますか？

自分で考えた問題ですがあってますかね？

【問題】
x≠0 かつ ｙ≠0 のとき
f(x,y)＝x^2 y^2 sin(1/x) sin(1/y)

ｘ＝0 または y＝0 のとき
f(x,y)＝0

とするとき、この関数は (0,0) で全微分可能であるが、C^1 級ではない

>>200
オッケー

>>199
有限次元か？

>>202一応両方のパテぃーんで考えてるんですけど、とりあえずはdimV<♾でやってみてほしいっす

有界な写像と計量線型空間は同時には使わない

>>201
有り難うございます！

>>204有限次元でノルムが定まってれば線型写像は有界ってことですか？
まだまだ初心者なのであんま知らなくてすいません
とりあえず有限次元で>>199を考えてみて欲しいっす

お前には無理

>>207一応、有限次元のときは自分で示せているつもりなので、無限次元の場合をお願いしますっす

無限次元を勉強してから出直しておいで

>>209あれ？この場合は無限次元にならないってことですかね？
とりあえずアドバイスありがとうございます！！精進してきます！！

n次正定値対称行列全体の空間P上へのGL(n,R)の作用を
g・p=gp(t^g)と定めた時
(ただしt^gはgの転置行列、g∈GL(n,R)かつp∈P)
写像g・:P→Pの微分を計算したいのですが
pを通るP内の曲線で速度ベクトルがX方向のものをp^1/2・e^sX
(p^1/2は2乗してpになる正定値対称行列、s∈Rはパラメータでeは行列の指数関数)
として微分を計算しようと思ったのですが上手くいきません。

何か良い方法があるのでしょうか。

>>211
P⊂GL(n,R)なんだから
Lg:GL(n,R)→GL(n,R):p→gp
T:GL(n,R)→GL(n,R):p→t(p)（転置）
で
g=LgTLgT:GL(n,R)→GL(n,R):gt(gt(p))=gtt(p)t(g)=gpt(g)
dg=dLbdTdLgdT:M(n,R)→M(n,R)としてみたら？

>>212
なるほど上手く左移動に分解すれば簡単に計算できるんですね
ありがとうございます

杉浦光夫著『解析入門I』

p.54例5で「明らか」と書いていますが、ちっとも明らかじゃないですよね。

まだ杉浦読んでるのかｗｗｗ

なんとなく確認したら明らかに明らかだった

>>214
ずっと変わらず
低知能

10年勉強しても微積分

>>216

定理6.2系を使うためには、 x_n → a となる B の検任意の点列に対して、 lim f(x_n) が存在することを示さなければなりません。

ところが、例5では、有界で単調な数列 (x_n) に対してのみ、 lim f(x_n) が存在することを確かめればよいということを言っています。

これには明らかにギャップがあります。

>>219

訂正します：

>>216

定理6.2系を使うためには、 x_n → a となる B の任意の点列に対して、 lim f(x_n) が存在することを示さなければなりません。

ところが、例5では、有界で単調な数列 (x_n) に対してのみ、 lim f(x_n) が存在することを確かめればよいということを言っています。

これには明らかにギャップがあります。

例5はわざわざ数列など使わずに直接証明すれば簡単です。
杉浦光夫さんって変わっていますよね。

杉浦さんは明らかに勘違いしていますよね。

例5は以下のような話です：

f を [a, b] で定義された単調関数とする。
c ∈ [a, b] とする。
lim _{x → c±0} f(x) が存在する。

例えば、 lim _{x → c-0} f(x) の場合、 B =[a,c) です。

定理6.2系を使うためには、 [a, c) 上の任意の数列 (x_n) に対して、 (f(x_n)) が収束することを示さなければなりません。

ですが、杉浦光夫さんは [a, c) 上の単調な数列 (x_n) に対してのみ、 (f(x_n)) が収束することを確かめればよいと勘違いしています。

>>224
下がはじけないけとないけど、上が成り立つ例を構成せよ

>>224
書き間違い
下をパスしたけど、上をパスできない例を挙げてくれ

行列とは
・線型空間の元 a11*e11+…a1n*ein+…∔am1*em1+…∔amn*emn である
　aijは数体の元（スカラー）　eijは線形空間の基底（ベクトル）
・元同士の掛け算が可能　(a*f)(b*g)=(ab)(fg)
　a,bは数体の元　f,gは基底

　基底の積は
　eij ekl
=0 (j≠kのとき)
=eil　(j=kのとき)
　と定義する

　基底の集合は一般に群にならない

>>224
limxn=limsupxn=liminfxn

>>228

上極限、下極限はp.364にはじめて登場します。
ですので、「明らか」と書いた杉浦光夫さんは間違っています。

>>226

下も成り立つと思います。
成り立つとは思いますが、明らかに「明らか」には成り立ちません。

数学セミナー10月号
エレガントな解答をもとむ解答編の2問目の解説内に
集合A,B,C⊂Xに対して
(A△C)△(B△C)=A△B
が成り立つとありますが、成り立ちませんよね？

△は対称差で、A△B=(A∪B)\(A∩B)です

>>230
それ聞かれてるんじゃないけど

xn→x
∀ε∃N∀n>N x-ε<xn<x+ε
ε=1/m Nm=N Mm=max(M1,...,Mm)
∀m∀n>Mm x-1/m<xn<x+1/m
yn=x-1/m for Mm<n<Mm+1
zn=x+1/m for Mm<n<Mm+1
∀n yn≦yn+1<xn<zn+1≦zn
limxn=limyn=limzn

>>233
>∀n yn≦yn+1<xn<zn+1≦zn
∀n yn-1≦yn<xn<zn≦zn-1

>>231
ベン図で見てみたら？成り立つよ
対称差はφを単位元にする可換群の演算だから
(A△C)△(B△C)=A△B△C△C=A△B△φ=A△B
としてもいいけど

>>235
ありがとうございます、成り立ちますね
最初ベン図で書いてみて、Cで消えたところが戻らないと思ったんです
ちゃんと見れば、ちょうどその部分は復活するように出来てるんですね

>>231
集合演算は、ブール代数の計算に置き換えて計算したらやりやすい

つまり、AΔB=(a+b)･(a･b)'=(a+b)･(a'+b')=ab'+a'b

>>235
その視点があったか。でも、結合則の証明がしんどいな

ベン図で

ユニタリ群U(3)のHaar測度って具体的にどうなるか教えてください。
具体的に書いてある文献の情報でもありがたいです。
ググっても出てこなくて…。難しいのでしょうか？

ユニタリ群U(3)のHaar測度は具体的にどのようになるのでしょうか？

すみません。２個書き込んでしまいました。

Haar measure on O(n) or U(n)
https://math.stackexchange.com/questions/481004/haar-measure-on-on-or-un

全微分dfって微分形式ですか？

それとも単なる記号ですか？