(+) は部分空間の直和を表す記号とする。
φ ∈ L(V, R) かつ φ ≠ 0 とする。
u ∈ V は null φ の元ではないとする。
V = null φ (+) {a * u : a ∈ R} が成り立つ：
証明：
v ∈ V とする。
φ(v) = a * φ(u) と書ける。
φ(v) - a * φ(u) = φ(v - a * u) = 0 であるから、 v - a * u ∈ null φ である。
v = (v - a * u) + (a * u) ∈ null φ + {a * u : a ∈ R} である。
v ∈ null φ ∩ {a * u : a ∈ R} とする。
v = a * u と書ける。
0 = φ(v) = a * φ(u) であるから、 a = 0 でなければならない。
ゆえに、 v = 0 である。
以上より、 V = null φ (+) {a * u : a ∈ R} である。
証明終