Griffiths-Harrisのp. 35、ドルボーコホモロジーによるミッタクレフラー問題の解でわからないところがあります。

問題は以下です。
Sはリーマン面（コンパクトとは限らない）
Sの点の離散集合{p_n}と、各p_nにおける主要部を与える。
この時、S全体で定義された有理型関数で、p_nにおける主要部が上記で与えたものと一致し、p_n以外の点では正則なものが存在するか。


以下が、コホモロジーによる解説です。
{U_a}をSの開被覆で、各U_aは高々ひとつのp_nしか含まないものとする。
f_aをU_a上の有理型関数で、p_nでの主要部が上記のもので、p_n以外では正則とする。
ρ_aを、p_n∈U_aのある近傍で1、U_a内にコンパクトな台をもつC^∞関数とする。
このとき、

φ = Σ ∂∼(ρ_a f_a)

はS上のC^∞(0, 1)閉形式。（p_nのある近傍ではφ≡0）
（※ ∂∼は、(p, q)形式を(p, q+1)形式へ送る微分作用素。∂∼ = π(p, q+1)・d）


質問:
f_aはp_nに極をもつのに、なぜφがS上で定義されるのかが分かりません。