大学学部レベル質問スレ 24単位目

大学で習う数学に関する質問を扱うスレ

・質問する前に教科書や参考書を読むなりググるなりして
・質問は正確にすること、教科書で定義を確かめること
・高校生以下の質問はそれぞれのスレへ
・自作問題は禁止
・ただの計算は
http://wolframalpha.com
・数式の表記法は
http://mathmathmath.dotera.net
・質問のマルチポストは非推奨
・煽り、荒らしはスルー

※前スレ
大学学部レベル質問スレ 23単位目
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1693982722/
大学学部レベル質問スレ 22単位目
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1683623006/
大学学部レベル質問スレ 21単位目
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1675998924/
大学学部レベル質問スレ 20単位目
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1669086920/
大学学部レベル質問スレ 19単位目
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1659623368/

定数で求めるってyhのこと？

>>356
全然違う
定関数を0で求める
よく見えんが
ωy"+w^2y=coswx？

>>358
y''+w^2y=coswxやね

>>360
>A'(x)=0
>B'(x)=1/2w
>A(x)=0
>B(x)=x/2w
>y=(x/2w)sinwx
一般解は
A(x)=A
B(x)=x/2w+B
y=Acoswx+(x/2w+B)sinwx

>>360
中盤あたり行列やろ？スマホで見てるから崩れて全然わからん(´・ω・｀)

=0の時の解の定数を関数にして条件を満たすようにするのが定数変化方

>>362
|D 2w|
|-2w D|
の逆行列を行列式D^2+4w^2と余因子行列
|D -2w|
|2w D|
で表して
|0|
|1|
に掛けてるだけ

|1|
|0|
に掛けてるだけ

このDって何？

0でいいの？

>>366
Dy=y'

>>367
何が？右辺？0でいいよ

>>369
いやDを0みたいに扱ってもいい？って聞きたかった

>>370
Dがなんで0？？
|D -2w||1| |0|
|2w D||0|=|2w|
は別にDを0にしてるわけじゃないが

>>371
D・1+(-2w)・0=0ってことになるくない？

ああ分かった気がする
Dってd/dxってこと？

>>373
>>368

>>374
ごめんDってよく理解せずに考えてた
夜遅くまでありがとうございます

ご苦労

レポートかな

他人にものを聞く態度かな

君のがつまらんが

良かったじゃないか、答えられる質問が来て

せっかく譲ってやったのにひどい

なんか変なの居座っちゃったな

俺が1だけど

で？1様と言われたいの君？

あーそうか
居座るんじゃなくて建てたんだって言いたいのか
別に建てたのがここに居る必要ないよ
変なの居座っちゃったなって感想しかない

赤っ恥

常数変化法の名前しらない工学部の学生に教えたかった、違うか？

変なの居座っちゃったな

体K上の線形空間って自明な物を除けば元の数は無限だと思ってたけど
Kを有限体にすれば元が有限個の線形空間もあり得るんですかね？

v_1, …, v_m をベクトル空間 V の基底とし、 W を n 次元ベクトル空間とする。
T を V から W への線形写像とする。
W の基底 w_1, …, w_n で V の基底 v_1, …, v_m および w_1, …, w_n に関する T の行列 の第1列が第1行を除いてすべて 0 であり、第1行は 1 ないし 0 であるようなものが存在することを示せ。

解答は以下であっていますか？

T(v_1) = 0 ならば、 w_1, …, w_n を W の任意の基底とすればよい。
T(v_1) ≠ 0 ならば、 w_1 := T(v_1) とし、 w_1, …, w_n が基底になるように、 w_2, …, w_n を取れば良い。

>>390

この問題は、Sheldon Axler著『Linear Algebra Done Right Fourth Edition』のp.79 Exercises 3Cの６です。

あまりにも簡単すぎるので、もしかしたら何か勘違いをしているのではないかとも思っています。

>>389
もちろん有限体はそれ自身有限個の元からなるベクトル空間やね

w_1, …, w_n をベクトル空間 W の基底とし、 V を m 次元ベクトル空間とする。
T を V から W への線形写像とする。
V の基底 v_1, …, v_m で v_1, …, v_m および w_1, …, w_n に関する T の行列 の第1行が第1列を除いてすべて 0 であり、第1列は 1 ないし 0 であるようなものが存在することを示せ。

>>391
よく分からんけど第一行が0または1という条件は満たされているの？

u_1, …, u_m を V の任意の基底とする。
T(u_1), …, T(u_m) の基底 w_1, …, w_n に関する第1座標がすべて 0 ならば、 v_i = u_i for each i ∈ {1, …, m} とすればよい。
T(u_1), …, T(u_m) の基底 w_1, …, w_n に関する第1座標の中に 0 でないものがある場合を考える。
T(u_1) の基底 w_1, …, w_n に関する第1座標が 0 でないと仮定しても一般性を失わないのでそう仮定する。
各 i ∈ {1, …, m} に対し、 T(u_i) の基底 w_1, …, w_n に関する第1座標を a_i とする。

一般に、 x_1, …, x_k があるベクトル空間の基底であるとき、 x_1, x_2 + b * x_1, x_3, …, x_k もそのベクトル空間の基底であるから、

v_1 := (1/a_1) * u_1
v_2 := u_2 - (a_2/a_1) * u_1
…
v_m := u_m - (a_m/a_1) * u_1

とおけば、 v_1, …, v_m は V の基底であり、

T(v_1) の基底 w_1, …, w_n に関する第1座標は 1 であり、
各 i ∈ {2, …, m} に対し、 T(v_i) の基底 w_1, …, w_n に関する第1座標は 0 である。

問題文を訂正します：

>>396
v_1, …, v_m をベクトル空間 V の基底とし、 W を n 次元ベクトル空間とする。
T を V から W への線形写像とする。
W の基底 w_1, …, w_n で V の基底 v_1, …, v_m および w_1, …, w_n に関する T の行列 の第1列が第1行を除いてすべて 0 であり、第１列第1行は 1 ないし 0 であるようなものが存在することを示せ。

同様に、

>>395

の問題も以下のように訂正します：

w_1, …, w_n をベクトル空間 W の基底とし、 V を m 次元ベクトル空間とする。
T を V から W への線形写像とする。
V の基底 v_1, …, v_m で v_1, …, v_m および w_1, …, w_n に関する T の行列 の第1行が第1列を除いてすべて 0 であり、第1行第1列は 1 ないし 0 であるようなものが存在することを示せ。

>>399
の問題も
>>400
の問題も簡単すぎますが、あってますよね？

Axlerさんの本は本文は非常に良いのですが、問題が簡単すぎて解答する側が不安になるようなものが多いと思います。
そして、演習効果もあまりないような問題が各セクションに数十個も並んでいます。

>>393
その感覚で正しいよ
ほとんど当たり前
多分その具体的な表示が必要な問題に応用するなじゃないの？

あるいは表現行列を
与えられた基底から作る方法しか知らないとしたら
つまり定義しか知らないとしたら
逆問題だから
基底と表現行列に関する理解を深めるのには
意味があるとは思う

工学部の素人と荒らしに食いつく爺さん

>>402
ありがとうございました。

>>392
>Sheldon Axler著『Linear Algebra Done Right Fourth Edition』
いつもの低知能あらし

A:100億貰えるなら貰う?
B:貰う
A:じゃあ、100億貰えるけど明日死ぬなら貰う?
B:貰わない
A:ということは君は明日以降の未来に100億以上の価値を感じてるということだ

↑この詭弁臭プンプンの論理を論理的に論破してくれ。

>>394
有り難うございます
スッキリしました

そうううくだらないのはここで
http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1638084738/

>>407
そうううくだらないのはここで
http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1638084738/

詭弁でもなんでもなく明日以降の人生に100億以上の価値を感じているのでわ？

C^∞級多様体Mでは、

方向微分f → d(f(c(t)))/dt|t=0の全体
＝接ベクトル（D(fg) =D(f)g + fD(g)をみたす線形写像C^∞(M)→ℝ）の全体
＝{∂/∂xi}で張られる空間

ですが、これC^∞級でないと反例あるんですか？

C^1級だと？

f(x, y) = 1 (x >0, y = x^2), 0 (otherwise)

は、原点で任意のa, bに対して、(a∂/∂x + b∂/∂y)f = 0
だけど、c(t) = (t, t^2)に沿った方向微分は不可能

座標変換でこういうことが起こる例を作ればいいんじゃないだろうか

そもそもステートメントがメチャクチャ

>>415
どこが？

DがC^∞→R なら D(fg) は R の元
D(f)g + fD(g) は関数
としか解釈できない

M: y = |x| ⊂ ℝ² の原点

方向微分はあるけど、∂/∂xの形の接ベクトルは無い

>>417
その程度のことが補完できない脳みそなら黙ってろよ

>>412
そんなもん考えて何になるんだ？

M: y=|x|ってC^∞じゃないんけ？

どうやって？

松島の証明読んだらC^∞に限った証明だったし、wikipediaにもC^rのときはだめって書いてあるから、なんか頑張れば反例ができるんじゃね

D(fg) =D(f)g(p) + f(p)D(g)をみたすけど、曲線に沿った方向微分にならない例はあるの？

なめらかな曲線が存在しない曲面上の関数の弱微分とか考えればいいんじゃね？

松本の多様体の基礎の付録にこの話が書かれてたような気がする

ほんとだ付録にあった
松島の証明にあった書き間違いも直っとる
Gij()に渡す引数を間違えてたね

その程度のことを書いてて自分で“おかしい”と思える感覚がない時点でどれだけ収めてる学費が無駄になってるかわかるカス

変なやつ居付いちゃったな

ごみ数学の世界にいらん
はよでていけゴミ

ゴミ数学はない

Sheldon Axler著『Linear Algebra Done Right Fourth Edition』

行列の積が結合法則を満たすこと、すなわち

(A * B) * C = A * (B * C)

が成り立つことを証明せよという問題に対してAxlerさんは以下のようにコメントしています：

Try to find a clean proof that illustrates the following quote from Emil Artin:
"It is my experience that proofs involving matrices can be shortened by 50% if one throws the matrices out."

想定される模範解答は以下です。

M(T) である基底たちに関する行列表示を表すことにする。

M(S) = A
M(T) = B
M(U) = C

となるような適当なベクトル空間間の線形写像 S, T, U が存在する。
(S * T) * U = S * (T * U) は明らかに成り立つ。

一般に、 M(T1 * T2) = M(T1) * M(T2) だから、

(A * B) * C = A * (B * C)

が成り立つ。

>>432,433
いつもの低知能

M(T1 * T2) = M(T1) * M(T2) が成り立つことの証明をブラックボックスとすれば、確かにクリーンな証明に見せることが可能です。

ですが、 M(T1 * T2) = M(T1) * M(T2) の証明はクリーンではありません。

ただ汚い部分を M(T1 * T2) = M(T1) * M(T2) の証明に追いやっただけです。

ちなみに、Axlerさんは M(T1 * T2) = M(T1) * M(T2) が成り立つように、 M(T1) と M(T2) の積を定義しています。

いつもの馬鹿アスペ

M(T1 * T2) = M(T1) * M(T2) が成り立つように M(T1) と M(T2) の積を定義し、行列の積をどう計算するかについて完全に無視すれば、確かにクリーンかもしれませんね。

なんでも食いつくおっさん↓

>>440
変な奴が居座っちゃったな
早く出ていって欲しいものです

あとでどうせ行列の積が線形写像の合成であることは示すんだから、先にやっても無駄にはならんやろ

荒らしに構う爺

ダボハゼがいついちゃった

馬鹿アスぺにドヤ顔レスしてスルーされる間抜け

質問です。
積分の線型性を示せという問題で

定義により任意のΔ、ξに対して
1. s(f+g; Δ; ξ)=s(f; Δ; ξ)+s(g; Δ; ξ)、
2. s(cf; Δ; ξ)=cs(f; Δ; ξ)
であり、f, gを可積分な関数とするとd(Δ)→0の時、代表点ξkの取り方によらず1. 2.の右辺は収束し
∫(f+g)=∫f+∫g、∫cf=c∫f
となる

は合ってますか？

質問です
積分の単調性を示せ
という問題は

f, gを可積分な関数とすると
任意の分割Δ、代表点ξに対して仮定から
1. s(f; Δ; ξ)≥s(g; Δ; ξ)
が成り立つ。d(Δ)→0とすると
1. は ∫f≥∫g となる。

で合ってますか

質問です
積分の第一平均値定理を証明せよ
という問題の証明は

任意のxに対して仮定より
m≤f(x)≤Mであるから(mは最小値、Mは最大値とかは説明省略)
積分の単調性より
∫m≤∫f(x)≤∫M となる。
ここで∫dx=v(I)であるから
1. mv(I)≤∫f(x)≤Mv(I)

・v(I)=0ならばm≤μ≤Mとなる任意のμに対して
∫f=μv(I)=0
が成り立つ
・v(I)>0ならばμ=(∫f)/v(I)と置くと1.によりm≤μ≤Mとなり積分の第一平均値定理が成り立つ
以上により証明された

で合ってますか

fが連続の時は
コンパクト集合I上で最大値と最小値に達するから
f(x)=m、f(y)=M を満たすx, yが存在する
Iは凸集合なので線分xy∈I である
線分xyはx(t)=x+t(y-x) 0≤t≤1
とおける。x(0)=x、x(1)=y

[0, 1]で定義された連続関数g(t)=f(x(t))は
g(0)=f(x)=m、g(1)=f(y)=M
を満たすから中間値の定理により
g(s)=μ、m≤μ≤M、0≤s≤1
を満たすsが存在する
x(s)=ξとすると
ξ∈I、f(ξ)=μとなる

で合ってますか。

最後です
積分の平行移動不変性を示せ
という問題は

n=1の時、
I=[a, b] ならば I+c=[a+c, b+c]
v(I+c)=(b+c)-(a+c)=b-a=v(I)
n>1の時、
v(I)は各辺の長さの積だからn=1の時より各辺は全てv(I+c)=v(I)となり成り立つ

Iの任意の分割Δ、代表点ξk∈小区間Ikをとる。平行移動をTcとする
小区間Ik+cは区間I+cの分割Δ+cを作り、ξk+cは小区間Ik+cの代表点となる
上の結果よりv(Ik+c)=v(Ik)
が成り立つので
s(f￮Tc; Δ; ξ)=∑f(ξ)￮Tc v(Ik)
=∑f(ξk+c)v(Ik)=s(f; Δ+c; ξ+c)
ここでd(Δ)→0とすると
∫(I) f￮Tc=∫(I+c) fとなる

∫[a, b] f(x)=∫[a+c, b+c] f(x-c)
∫(I) f￮Tc=∫(I+c) f

で合ってますか

この4つ、線型性、単調性、第一平均値定理、平行移動不変性が「リーマン積分の4大定理」と言われるというのはマジですか

どこが質問？

>>446
君の自己紹介はいいから

ダボハゼの答えは？

微積分だとドヤ顔できないの？