大学学部レベル質問スレ 24単位目

大学で習う数学に関する質問を扱うスレ

・質問する前に教科書や参考書を読むなりググるなりして
・質問は正確にすること、教科書で定義を確かめること
・高校生以下の質問はそれぞれのスレへ
・自作問題は禁止
・ただの計算は
http://wolframalpha.com
・数式の表記法は
http://mathmathmath.dotera.net
・質問のマルチポストは非推奨
・煽り、荒らしはスルー

※前スレ
大学学部レベル質問スレ 23単位目
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1693982722/
大学学部レベル質問スレ 22単位目
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1683623006/
大学学部レベル質問スレ 21単位目
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1675998924/
大学学部レベル質問スレ 20単位目
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1669086920/
大学学部レベル質問スレ 19単位目
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1659623368/

>>463
g =[[1 0] [1 1]]に対して、gH≠Hg

余談:
GL(2, ℂ)はRiemann球面CP^1に
[[a b] [c d]] z := (az + b)/(cz + d)
で作用する。
この作用は推移的で、0を固定する部分群は下三角行列全体でありHと同型
なので、集合としてCP^1～GL(2, ℂ)/H
Hが正規部分群だと、CP^1～S^2がこの作用を通じて群になってしまう
これは>>460に反する

>>465
n=1, 2はUFDでない（X0が既約元だが、(X0)で割った剰余環が整域に）
n≥3ならUFD
だと思う

整域にならない)

出題厨

出題スレじゃないんだがなあ

答えられないなら黙ってろよ

>>471
面白い数学の問題おしえて〜な 43問目
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1696639819/

変な奴が居座っちゃったな

質問です
次の(1)から(4)を証明せよ
(1) Δ'がΔの細分である時
mv(I)≤s(Δ)≤s(Δ')≤S(Δ')≤S(Δ)
となる
(2) 任意の2つの分割Δ1, Δ2に対してs(Δ1)≤S(Δ2)
(3) s≤S
(4) g≤fならばs(g)≤s(f)、S(g)≤S(f)
という問題に

(1) ∀k、m≤mk≤Mk≤M
が成り立つ。v(Ik)≥0をかけてkについて足し合わせると
mv(I)≤s(Δ)≤S(Δ)≤Mv(I)となる
小区間Ikが小区間Ik'、Ik''に細分されたとすると
mk≤mk', mk''、
Mk', Mk''≤Mkであり
v(Ik)=v(Ik')+v(Ik'')である
よってmkv(Ik)=mk(v(Ik')+v(Ik''))
≤mk'v(Ik')+mk''v(Ik'')
∴s(Δ)≤s(Δ')となる。
同様にS(Δ')≤S(Δ)も示せる
(2) Δ1とΔ2の分点を合わせた分割をΔ3とするとΔ1, Δ2≤Δ3
s(Δ1)≤s(⊿3)≤S(⊿3)≤S(⊿2)
(3) (2)によりS(⊿')は{s(⊿)}の1つの上界であるから上限sに対して
s≤s(⊿')≤S
(4) ∀k、sk(g)≤mk(f)よりs(g)≤s(f)
S(g)≤S(f)も同様

で合ってますか

ダボハゼ爺さんの自演

質問です
ダルブーの定理の証明は

∀ε>0, ∃分割D、0<s-s(D)<ε/2
が下積分sの定義から成り立つ
Dを1つ固定する。Dと任意のΔの分点を全て含む分割をΔ'とすると
0≤s(Δ')-s(Δ)であり、∀ε>0、0≤s(Δ')-s(D)<ε/2
d(Δ)→0より∃e、d(Δ)<e
となるΔのみを考えればよい
Δによって生ずる全ての小区間には高々1つしか分点はない
Dによる分割の数nk(D)は
0≤nk(D)≤n
m≤mk≤mkl≤M、∑v(Ikl)=v(Ik)
ここでIklはΔ'による小区間、mkl=inf f(x)、x∈Ikl

dk=∑(mkl-mk) v(Ikl)
nk=0の時、dk=0
nk>0の時、dk≤(M-m)v(Ik)
∴0≤s(Δ')-s(Δ)≤(M-m)∑v(Ik)≤c(M-m)d(Δ)
ここでc≥0はΔに依存しない実数

∀ε>0, ∃δ、0<δ<Min{e, ε/2(c+1)(M-m+1)}となる
∵c=0またはM-m=0となる場合があるのでc+1>0かつM-m+1>0となるようにした

d(Δ)<δとなる任意のΔに対して
0≤s(⊿')-s(⊿)<ε/2
よって0≤s-s(Δ)
=(s-s(D))-(s(Δ')-s(D))+(s(Δ')-s(⊿))
<(s-s(D))+(s(Δ')-s(⊿))
<ε/2+ε/2=ε
∴s(⊿)→sが証明された

V(⊿)≤cd(⊿)を導く
体積を考えてΠ(ai-bi)d(⊿)=cid(⊿)
ri個の分割に対してはri個分の小区間×体積が対応するから
cirid(⊿)=cd(⊿)とおけばcはDとIには依存するがΔには依存しない

で合ってますか

>>476
俺が「合ってるよ」って言ったらどうするつもりなの？
自分で理解・納得してなくても、見ず知らずの人にマルつけてもらったらそれで良しとするの？
もう大学生でしょ？
勉強の仕方改めようよ。

>勉強の仕方改めようよ。
何の勉強の話？

[NGid:orzKAy1D] orz

質問です
有界閉集合I上の有界関数fに対して
1 fはリーマン可積分である
∫ I f=s=S
の同値命題を列挙せよ
という問題は

2 S(Δ)-s(Δ)→0
3「リーマンの可積分条件」
4「ダルブーの可積分条件」
5 ∀ε>0, ∃Δ、S(Δ)-s(Δ)<ε

1⇒2⇔4⇒1、5⇒4⇔2⇒5、2⇔3
を示す。
1⇒2は
∀ε>0, ∃δ>0, ∀Δ、
d(Δ)<δ⇒|s-s(f; Δ; ξ)|<ε/2 となる
よって0≤S(Δ)-s(Δ)<ε
2⇔4は
s=S (ダルブーの可積分条件)
4⇒1は
∀Δ, ∀ξ、s(Δ)≤s(f; Δ; ξ)≤S(Δ)
である。
s=Sの時、d(Δ)→0とするとダルブーの定理より
s(f; Δ; ξ)→s=S
5⇒4は
0≤S-s≤S(Δ)-s(Δ)<ε
2⇒5は明らか
2⇔3は
S(Δ)-s(Δ)=∑a(f; Ik) v(Ik)<ε
(リーマンの可積分条件)

で良いでしょうか

>>477
ありがとうございます

馬鹿アスペ二号、一号に毛が生えた程度のレベル

質問です
単調関数の可積分条件いわゆる「ニュートンの可積分条件」を証明せよ
のやり方は
単調増加関数fについて証明する
単調減少関数については-fを考えれば単調増加関数に帰着される
単調増加なのでmk=f(x(k-1))、Mk=f(xk)

0≤∑a(f; Ik)v(Ik)
≤∑d(Δ)(f(xk)-f(x(k-1)))
=d(Δ)(f(b)-f(a))→0 (d(Δ)→0)
よってfはI上可積分である

はどうでしょうか
簡単な質問ですいません

最後の質問です

fが有界可積分な関数ならば|f|も有界可積分関数であり、
|∫ f|≤∫ |f|
となることを証明せよ
は、

一般に
||f(x)|f(y)|≤|f(x)-f(y)|
なので
0≤a(|f|; Ik)≤a(f; Ik)
であるからfが可積分ならば|f|も可積分である

三角不等式より|s(f; Δ; ξ)|≤s(|f|; Δ; ξ)
(n個の実数の和の絶対値≤n個の実数の絶対値の和)

d(Δ)→0とすると
|∫ I f|≤∫ I |f| となる

で正しいでしょうか

https://imgur.com/cKs54fT
上の画像の実数値と離散値が混在する場合のベイズの公式について質問です。P(X = a|Y = a)は確率なのに右辺は確率密度関数の値と確率を掛けた式です。問題ないのはなぜですか？

>>477
変なのが居座っちゃったな

居座らせておけば？

コテつけてくれればいいのに
１
とかでいいよ

せやな

357１３２人目の素数さん
2024/10/12(土) 12:39:54.89ID:b9PtVu7k
学部レベルの質問スレってもう死んだんか?

ChatGPTは知らないっぽいからこっちで聞く

二次元平面を張り合わせたりすれば簡単に位相構造が変化するけども
四次元多様体(物理学的な宇宙)の内部に住んでる知性が低次元のトポロジーを変化させる操作を実際に行えることの理論的な根拠って何かある？

>低次元のトポロジーを変化させる操作
何のこと？

>>492
具体的には紙を張り合わせてメビウスの輪を作ること
これが物理学的な宇宙(四次元多様体)の内部の住民が操作として実際に行えるのってなんか根拠あんのって質問

物理板でどうぞ
>四次元多様体(物理学的な宇宙)の内部に住んでる知性

generic projectionの全単射性によるのではなかろうか

質問です
関数f, g, hはI上可積分、∀x∈I: h(x)≠0、f, g, 1/hは有界とする。この時 fg、1/hはどちらもI上可積分であることを証明せよ
という問題は

∀x∈I, ∃C≥0、|f(x)|≤Cかつ|g(x)|≤Cとなる
|f(x)g(x)-f(y)g(y)|
=|(f(x)-f(y))g(y)+(g(x)-g(y))f(x)|
≤C(|(f(x)-f(y))|+(g(x)-g(y))|
∴振幅a(fg; Ik)≤Ca(f; Ik)+Ca(g; Ik)
よりfgはI上可積分である。

有界条件 ∀t∈I, ∃C≥0、|1/h(t)|≤C
|1/h(x)-1/h(y)|=|(h(x)-h(y))/h(x)h(y)|
≤C^2|h(x)-h(y)|
∴∀k、a(1/h; Ik)≤C^2a(h; Ik)

で合ってますか

質問です
積分の区間加法性を示せ
という問題は

⊿をIの任意の分割とする。fを有界なI上可積分な関数とする。Dを⊿の細分としDによってΔのある小区間Ikに新たな分割が生じるものとする。s(D; f; I)=∑s(Dk; f; Ik)
d(D)→0とすると∀k、d(Dk)→0となるから下積分、上積分についてそれぞれ∫I f=∑∫Ik f が成り立つ
fの可積分性により下積分=上積分が成り立つ
一般に下積分≤上積分であり
各小区間Ikにおける≤は全て=になる。逆に小区間Ikにおいて下積分=上積分が成り立てば区間Iにおいて下積分=上積分が成り立つことは明らかである。
I⊃Jとなる任意の閉区間Jの上でfが可積分であることを示すには
Iの分割の中で∃k、Ik=Jとなるような分割を選び、上の議論を繰り返せばよい。


で合ってますか

最後の質問です
ヘクトル値関数の可積分条件について述べよ
に対しては

R^nの有界閉区間をIとする。
ベクトル値関数 f: I⊂R^n→Y⊂R^m

区間Iの分割Δに対してリーマン和をs(f; Δ; ξ)=∑f(ξ) v(Ik)で定義する。
代表点ξkの取り方によらずd(Δ)→0の時、s(f; Δ; ξ)がJに収束するならばfはI上可積分であると言う
J=∫ I fをfのI上の積分と言う

fを成分に分けて成分ごとの関数fiに対してリーマン和を考えることによりベクトル値関数fのI上の積分を定義することが出来る

有界なベクトル値関数f=(f1, f2, …, fm)がI上可積分⇔f1, f2, …, fmが全てI上可積分
この時、∫ f=(∫f1, ∫f2, …, ∫fm)
x∈R^n、f(x)=f1(x)+if2(x)、f1, f2∈Rとすると
fが可積分⇔f1, f2が可積分
であり、∫f=∫f1+i ∫f2

s(Δ)、S(Δ)、s、Sも同様である
S-s<εは|S-s|<εとする

でいいでしょうか

Rを整域、Kをその商体
KがR加群として有限生成になるのは、R = Kの場合だけですか？

どうしてS^nはn=0, 1, 3以外は位相群にならないの？
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1731042336/

活気出てきたじゃん

>>499
じゃないかなあ
知らんけど

>>500
上に理由あんじゃん

>>493
>具体的には紙を張り合わせてメビウスの輪を作ること
小学生も作ってんじゃん

メビウスの帯を深く調べるとアナルズに論文が載る
The optimal paper Moebius band
annals.math.princeton.edu/articles/21809

>>499
https://math.stackexchange.com/questions/777965/finitely-generated-quotient-field

日本では黒野ー梅川や直川など

TeXでTの逆さまってどう書くんやったっけ？

$\bot$

⊥

>>465 >>467
ネーター環が UFD となる必要十分条件は、その高さ 1 の素イデアルがすべて単項イデアルとなることである。

lim 2^n = +∞ を仮定すると、 (n)_{n∈N} は単調増加列だから lim n = +∞ が成り立つのはなぜですか？

>>510
垂直　で行けたわ、サンクスｗ

>>512

あ、わかりました。

任意の実数 M に対して、 M < 2^n となる n が存在する。
n_0 := 2^n とおく。
n ≧ n_0 rならば M < n だから lim n = +∞

(´-ω-`)ｳｰﾝ

>>499
KがR加群として有限生成
⇔K⊃Rは整拡大

このとき
Kが体⇔Rが体

Rはすでに体なので、その商体KはRに等しい

>>512
n=log_2(2^n)

⊥

M, NをC^∞多様体. F: M→Nを埋め込み.
この時, 接束に引き起こされる写像dF: TM→TNも埋め込みであることを示せ.

どうやるの？

dFの定義

M, Nをそれぞれm, n次元とする。
{Ui}, {Vj}をM, Nの開被覆で、TM, TNを局所自明にするもので、∀i, ∃j s.t. F(Ui)⊂Vjとなるものとする。

dFはUi上では、Ui x R^m → Vj x R^n ((p, Xp)→(F(p), (dF)p(Xp)))。
F, (dF)pはともに像への同相写像なので、dFもそう。

(p, Xp)∈TMとする。
d(dF)_(p, Xp): T_(p, Xp)TM → T_(F(p), (dF)p(Xp)) ((Xp, X_(Xp))→(dFp(Xp), d(dF)_(Xp)(X_(Xp)))TNが単射であることを示す。
Fは埋め込みなので、(dF)pは単射
d(dF)_Xpは線型写像なので、その部分は自分自身なので単射
よって、d(dF)_(p, Xp)も単射。

f: M → Nとg: R^m → R^nがあっても
(f, g): M×R^m → N×R^nの微分は、(df, dg)ではなくね？

いや、それで合ってるか

像への同相写像であることがglobalに示せてない

f, dfpが単射だから単射性はいえる
局所的に像への開写像であることを示せばいい

x^2のx = 0連続性を証明するのに、δ = √εを取ったら循環論法ですか？

ダボハゼ爺さんの出番だ

|1/f(x) - 1/f(a)|
= |(f(a) - f(x))/(f(x)f(a))|
= ε/|f(x)f(a)|
→ ε/|f(a)|^2

これやっていいの？

>>523
合ってるに決まってんだろ

>>526
なんで？

>>528
>= ε/|f(x)f(a)|
なんでイコール？

罠

変なやついついちゃったな
何で数学やんないんだろこいつ

杉浦光夫著『解析入門I』

p.55 命題6.5

(a) f は a で連続。
(d) lim_{x → a, x ≠ a} f(x) が存在して f(a) に等しい。

(a)と(d)が同値であるなどと大嘘を書いています。

はあ？

James R. Munkresさん、小平邦彦さんはかなり慎重で神経が細やかです。
杉浦光夫さんは大雑把すぎます。

エロ教師

いつも同じ奴が質問するか愚痴ってるな

困った奴がいついちゃった

>>534
それ同値でしょ

>>534,536
いつもの低知能

>>534

a が f の定義域 D の孤立点である場合には、 a ∈ D - {a} の閉包ではないため、 lim_{x → a, x ≠ a} f(x) は定義されません。

>>534

a が f の定義域 D の孤立点である場合には、 a ∈ closure(D - {a}) ではないため、 lim_{x → a, x ≠ a} f(x) は定義されません。

>>534

一方、 a が f の定義域 D の孤立点である場合でも f は a で連続です。

>>544
孤立点では連続性どうでもいいのでは？

だって何だって連続なんだもん

極限が存在して等しいなら上ので問題ないだろ
それをlim f(x)が存在してと書くのは少し変ではあるが

この本は
f(x)→cのことを常にlim f(x)が存在してcに等しいって一貫して書いてるから、気持ち悪いと思う人は全部気持ち悪いと思えばいいし、「lim f(x)が存在してcに等しい」をf(x)→cを意味する1つの記号だと思えば何の問題もない

x\to aつてx≠aでaに違っくつて意味で

杉浦光夫著『解析入門I』

p.60

U(+∞, M) := (M, +∞) ではなく、
U(+∞, M) := (M, +∞) ∪ {+∞} と定義するのはなぜですか？

A、B、C、DをA/B/D、A/C/Dを充たす代数体とする。
さらにA/B、B/D、A/Cがガロア拡大とする。
このとき、C/Dはガロア拡大でしょうか。
よろしくお願いいたします。

>>551
A/B、B/Dがガロア拡大だから、A/Dはガロア拡大。
G=Gal(A/D)とおくと、Gの任意の部分群Hに対して
Hの不変体をCとおくと、A/Cはガロア拡大。
ここまでが、問題文と同じ設定。
C/Dがガロア拡大であるための必要十分条件は
HがGの正規部分群であること。一般的には
勿論成立しないから、C/Dがガロア拡大だとは
一般的には言えない。

質問です

fはA上一様連続ではないと仮定すると
∃ε>0, ∀δ>0, ∃x,∈A, ∃y∈A、
|x-y|<δ=1/k⇒|f(x)-f(y)|≥ε
点列xn∈Aの部分列xnpが存在して
xkp→xとなる。∵Aはコンパクト
よって|xk-yk|→0
|yk-x|≤|yk-xk|+|xk-x|→0
p→∞とするとfの連続性より
x→yの時|f(x)-f(y)|→0となり矛盾する
コンパクト集合上の連続関数は一様連続であるということですか
x→y、xk→yk、xkp→ykp
コンパクト集合でない場合は連続であるが一様連続でない場合がある

>>553
>コンパクト集合上の連続関数は一様連続であるということですか
もちよ

質問です
有界閉集合はコンパクトである
I上連続⇒I上一様連続である
d(δ)→0となる分割Δを任意に取ると
x, y∈Ik⇒|x-y|≤d(Δ)<δ⇒|f(x)-f(y)|<εとなる
よって∀k∈K(Δ)、a(f; Ik)≤ε
が成り立つから
∑a(f; Ik)v(Ik)≤εv(I)
よってfは可積分条件を満たすので
I上可積分である

>>554
ありがとうございます

質問です

最後の質問です
h=f-gと置いてh≥0に帰着させる。
∃x0、h(x0)>0となる
a=h(x0)/2>0と置く
hは連続関数であるから
∃ε>0、U(x0; ε)∩I上でh(x)>aとなる

この部分、つまり有界閉区間Iでh(x)>aを満たすx=x0を含む閉集合をJとすると体積v(J)>0。
区間加法性と単調性により∫h≤∑a
Iの分割⊿の中で、1つの小区間がIk=Jとなるものをとる。
∑∫Ik h≥∫J h≥av(J)>0
線型性より∫f>∫gとなる

一点でもf(x0)>g(x0)となると、連続性により積分で等号は外れる。

なぜ教科書に書いてあることをわざわざ質問するのですか？

ちうか質問なのこれ

分かっていて反応するアホ

>>561
>分かっていて反応するアホ
ID:ObjD6Wyz

効いてるな

ほんと変なやついついちゃったよな
何でこいつ数学板にいるんだろ？

ほんと変なやついついちゃったよな
何でこいつ数学板にいるんだろ？